Czy układ wektorów jest l.n. - pytanie do rozwiązania.

[Anxious]

Witam,

Rozwiązywałem jeden z podpunktów zadania którego treść wygląda następująco:

Czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^ {\RR}}\) (wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \rightarrow \RR)}\) nad \(\displaystyle{ \RR?}\)

I tutaj sprawdzam, czy można znaleźć współczynniki \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma , \delta}\) przy tych wektorach, aby ich kombinacja liniowa była równa zero.

\(\displaystyle{ \left\{ \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x\right\}}\)

\(\displaystyle{ \alpha \cdot \sin x + \beta \cdot \cos x + \gamma \cdot \sin 2x + \delta \cdot \cos 2x = 0}\)

dla \(\displaystyle{ x=0}\) to będzie \(\displaystyle{ \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 + \gamma \cdot 0 + \delta \cdot 1 = 0}\)

czyli \(\displaystyle{ \beta = -\delta}\)

dla \(\displaystyle{ x = \pi}\) to będzie \(\displaystyle{ \alpha \cdot 0 + \beta \cdot -1 + \gamma \cdot 0 + \delta \cdot 1 = 0}\)

czyli \(\displaystyle{ \beta = \delta}\)

czyli \(\displaystyle{ \delta = -\delta}\)

Czy taka sprzeczność oznacza, że jest to układ liniowo niezależny?

[a4karo]

To jeszcze nie jest sprzeczność. Stąd wynika tylko, że \(\displaystyle{ \delta=0}\)-- 30 kwi 2016, o 13:07 --Ale jestes na dobrej drodze

[Anxious]

Rzeczywiście, zapomniałem o zerze, które spełnia takie równanie. Czyli kontynuując:

dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4}}\) to będzie \(\displaystyle{ \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \beta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \gamma \cdot 1 + \delta \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow \gamma = -\frac{\sqrt{2}}{2}(\alpha + \beta)}\)

dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}}\) to będzie \(\displaystyle{ \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 + \gamma \cdot 0 + \delta \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow \alpha = \delta}\)

Czyli \(\displaystyle{ \alpha = 0 , \beta = 0 , \delta = 0 , \gamma = 0}\) co oznacza, że układ jest liniowo niezależny.

Dziękuje za pomoc