Zależność między jądrem i obrazem

[sznicel]

Niech \(\displaystyle{ A \in \RR ^{m \times n}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{rz}\, \left(A \right)=n}\) (\(\displaystyle{ A}\) ma pełen rząd kolumnowy).
Pokazać, że \(\displaystyle{ \ker\left(A ^{T} \right) \perp \mathrm{im}\, \left(A \right)}\)

[janusz47]

Dopełnienie ortogonalne obrazu A.

Wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) należy do jądra \(\displaystyle{ A^{T}}\) wtedy i tylko wtedy gdy jest prostopadły do wektorów wierszy \(\displaystyle{ A^{T}}\), a więc i do kolumn \(\displaystyle{ A.}\)

Jądro \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest więc dopełnieniem ortogonalnym obrazu \(\displaystyle{ A.}\)

\(\displaystyle{ (Im(A))^{\bot} = ker(A^{T})}\)

cbdo.

Przykład 1

\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{matrix}a\\b\\c\\ \end{matrix}\right].}\)

Jądro \(\displaystyle{ V A^{T} = [ a, \ \ b, \ \ c]}\) zawiera wszystkie wektory spełniające równanie

\(\displaystyle{ ax +by +cz =0.}\)

\(\displaystyle{ V}\) jest płaszczyzną.

Ortogonalne dopełnienie obrazu \(\displaystyle{ A}\) rozpina wektor prostopadły

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}a\\b\\c\\ \end{matrix}\right]}\) do płaszczyzny.


Przykład 2

\(\displaystyle{ A =\left[\begin{matrix}1&1\\ 0&0 \end{matrix} \right]

Im(A)= \left[\begin{matrix}1\\ 0 \end{matrix}\right] ,\ \ ker(A^{T}) =\left[\begin{matrix}0\\ 1 \end{matrix}\right]}\)