Udowodnić - Problemy z dwoma zadaniami

[wojtek915]

Witam,

mam problem z dwoma zadaniami z temat algebry liniowej:

1. Udowodnić, że przestrzeń i podprzestrzeń maja ten sam wektor zerowy

2.Udowodnić, że cześć wspólna dowolnej liczby podprzestrzeni danej przestrzeni tej jest podprzestrzenia tej przestrzeni

[bartek118]

W czym problem?

[wojtek915]

Po prostu nie wiem od czego zacząć i jak to udowodnić. Wiem co to wektor zerowy, znam własności podprzestrzeni, ale jak się zabrać do tego zadania nie ma pojęcia.

[Kacperdev]

1. np. nie wprost.

niech \(\displaystyle{ W < V}\)

oraz niech \(\displaystyle{ \vec{0}_1 \in W}\) i \(\displaystyle{ \vec{0}_2 \in V}\) przy czym \(\displaystyle{ \vec{0}_1 \neq \vec{0}_2}\)

ale z tego, ze \(\displaystyle{ \vec{0}_1 \in W \Rightarrow \vec{0}_1 \in V}\) bo \(\displaystyle{ W \subset V}\)

zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in V}\) mamy

\(\displaystyle{ \vec{0}_2 + a = a =\vec{0}_1 + a}\)

zatem \(\displaystyle{ \vec{0}_1 = \vec{0}_2}\) sprzeczność.

zatem istnieje tylko jeden wektor zerowy.

2) wskazówka. pokaz na poczatek, że jezeli \(\displaystyle{ W_1 < V}\) oraz \(\displaystyle{ W_2 < V}\) to \(\displaystyle{ W_1 \cap W_2 < V}\)
i za pomocą indukcji rozszerz do dowolnej liczby podprzestrzeni.

[pabblo]

2.

jeśli \(\displaystyle{ W_{1}<V}\) oraz \(\displaystyle{ W_{2}<V}\)
wtedy dla \(\displaystyle{ x,y \in W_{1} + W_{2}}\)
\(\displaystyle{ x= x_{W_{1}}+x_{W_{2}}}\)
\(\displaystyle{ y= y_{W_{1}}+y_{W_{2}}}\)
\(\displaystyle{ x+y= x_{W_{1}}+x_{W_{2}}+y_{W_{1}}+y_{W_{2}}=x_{W_{1}}+y_{W_{1}}+x_{W_{2}}+y_{W_{2}} \in V}\) ponieważ \(\displaystyle{ x_{W_{1}}+y_{W_{1}} \in W_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{W_{2}}+y_{W_{2}} \in W_{2}}\)

[Kacperdev]

To drugie to trochę namieszane.

Pierwsza obserwacja powinna dotyczyć wektora zerowego który na pewno należy do \(\displaystyle{ W_1 \cap W_2}\), zatem część wspólna na pewno jest niepusta.

dalej weźmy dwa \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in W_1 \cap W_2}\)

zatem \(\displaystyle{ x_1+x_2 \in W_1 \cap W_2}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x_1+x_2 \in W_1 \wedge x_1+x_2 \in W_2}\) jako, że \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) są podprzestrzeniami, suma dwóch wektorów z tych podprzestrzeni na pewno należy do podprzestrzeni. a stąd \(\displaystyle{ x_1+x_2 \in W_1 \cap W_2}\)

teraz indukcja.

chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n} W_i < V}\) gdy \(\displaystyle{ W_n < V}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)

dla \(\displaystyle{ n=1}\) zachodzi, bo \(\displaystyle{ W_1 < V}\)

załóżmy teraz, że własność zachodzi dla dowolnego, ustalonego \(\displaystyle{ n}\) i stąd chcemy pokazać, że zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\)

z założenia: \(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n} W_i < V}\) oraz \(\displaystyle{ W_{n+1} < V}\)

\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n+1} W_i = W_{n+1} \cap \left( \bigcap_{i=1}^{n} W_i\right)}\)

ale wiemy, że część wspólna dwóch podprzestrzeni jest podprzestrzenią stąd:

\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n+1} W_i < V}\)

stąd na mocy indukcji matematycznej własność zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\).

[wojtek915]

Dziękuję bardzo za pomoc.