Liniowa niezależnośc układu wektorów

[pabblo]

Witam. Mam do rozwiązania z mojej perspektywy trudne zadanie.

Zbadać czy układy wektorów są liniowo niezależne:

a) \(\displaystyle{ \left( 1,4\right) , \left( 2,3\right) , \left( 0,6\right)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \left( 1,-2,3\right) , \left( 1,0,1\right) , \left( 0,2,-1\right),\left( -1,-2,-1\right)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Jak rozwiązać takie zadanie gdy liczba wektorów nie jest zgodna z przestrzenią w której badana jest niezależność?

[a4karo]

A zastanów się co by było gdyby te wektory były liniowo niezależne.

[wojtek915]

Jeżeli w przestrzeni n-wymiarowej \(\displaystyle{ \mathbb K ^{n}}\) weźmiemy m wektorów, gdzie m > n, to układ taki jest liniowo zależny, bowiem rząd odpowiedniej macierzy nie przekracza n. Rząd zaś jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów, więc układ m wektorów jest liniowo zależny.