niezależność liniowa wektorów Gausem

[scoot]

Sprawdź czy wektory są liniowo niezależne (Gausem)
\(\displaystyle{ a_1=[2,3,0], a_2=[−1,0,−1], a_3=[0,1,4]}\)
Proszę o dokładne wytłumaczenie krok po kroku jak to się robi.

[Kacperdev]

Wrzucić wszystkie wektory do macierzy (tu dla wygody zerowania drugi wektor jest na pierwszym miejscu) i teraz próbujesz zerować każdą kolumnę.
zrobie pierwszy etap: (pomnożenie pierwszego wiersza razy \(\displaystyle{ -2}\) i dodanie do drugiego wiersza.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&3&0\\0&1&4\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&3&-2\\0&1&4\end{array}\right]}\)

[scoot]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&4\\0&3&4\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \mathop{\longrightarrow}_}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&4\\0&0&-8\end{array}\right]}\)
Tu chodzi o to że ma być macierz schodkowa?

Czy można zapisywać wektory w wierszach? Na zajęciach zapisywaliśmy je w kolumnach. Ma to jakieś znaczenie? Wiem że macierze można transponować...

[Kacperdev]

Nie ma znaczenia czy będą wierszami czy kolumnami. Chodzi o sprawdzenie rzędu powstałej macierzy.

[scoot]

Czyli z tego wynika że macierz jest 2 rzędu tak? Co oznacza że macierz ma 2 wiersze liniowo niezależne z czego wynika że wektory nie są liniowo niezależne? Dobrze to rozumiem?

[Kacperdev]

No nie. Rząd tej macierzy jest równy trzy. Rząd macierzy schodkowej, jest równy liczbie niezerowych schodków (potocznie mówiąc).

Poza tym tu widać z rozwinięcia Laplace'a, że wyznacznik będzie niezerowy, stąd \(\displaystyle{ \text{rz } M
=3}\)

formalna definicja rzędu odwołuje się do ilości niezależnych wektorów na wierszach (odpowiednio kolumnach).