Cześć.
Jutro mam kolokwium z algebry i mam ogromny problem z jednym typem zadań, mianowicie przykładowe polecenie brzmi następująco:
Dla odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ v _{1}=(-2,-5)}\) i \(\displaystyle{ v _{2}=(1,3)}\) są wektorami własnymi odpowiadającymi odpowiednio wartościom własnym \(\displaystyle{ p _{1}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ p_{2}=2}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ f^9(x,y)}\).
Czy mogłabym prosić o wskazówki, jak zabrać się za takie zadanie?
Z góry wielkie dzięki.
Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie
- nuxie
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 16:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2016, o 18:39 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie
Nie wiem co oznacza \(\displaystyle{ f^9 (x,y)}\), ale mogę Ci powiedzieć jak wyznaczyć jawny wzór na przekształcenie \(\displaystyle{ f(x,y)}\), o ile to Ci w czymś pomoże.
Na początek napiszmy macierz odwzorowania w postaci ogólnej, niech będzie:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Znamy wartości własne i odpowiadające im wektory własne, więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ Av_i = p_i v_i}\), otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i w ten sposób dostaniemy macierz przekształcenia. Co dalej to nie wiem, bo się nie znam.
Na początek napiszmy macierz odwzorowania w postaci ogólnej, niech będzie:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Znamy wartości własne i odpowiadające im wektory własne, więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ Av_i = p_i v_i}\), otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i w ten sposób dostaniemy macierz przekształcenia. Co dalej to nie wiem, bo się nie znam.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
znając wektory własne, obliczyć f^9(x,y)
Oznaczmy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) literą \(\displaystyle{ A}\). Skoro mamy podane wektory własne i odpowiadające im wartości własne, to możemy łatwo wyznaczyć postać diagonalną macierzy \(\displaystyle{ A}\), zaś macierze w postaci diagonalnej bardzo łatwo się potęguje.
Mianowicie \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), zaś kolumnami macierzy \(\displaystyle{ P}\) są odpowiednie wektory własne odwzorowania \(\displaystyle{ f}\), natomiast D ma poza przekątną zera, a na przekątnej (w kolejności takiej, w jakiej ustawiliśmy odpowiednio wektory własne) są wartości własne \(\displaystyle{ f}\) odpowiadające tym wektorom własnym.
Czyli tutaj mamy
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -1& 0\\ 0 & 2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]^{-1}}\)
- więc tę drugą macierz odwróć, np. sklejając ją z macierzą identyczności i wykonując operacje wierszowe (był też super wredny wzór z macierzą dopełnień, którego nie pamiętam).
No to teraz jeśli masz macierz \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), to \(\displaystyle{ A^{9}=PD^{9}P^{-1}}\), co wynika z łączności mnożenia macierzy: \(\displaystyle{ PDP^{-1} \codt PDP^{-1}=PD(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{2}P^{-1}}\) i tak dalej (chyba widać zasadę).
Zaś macierz diagonalną potęguje się tak, że po prostu podnosi się do odpowiedniej potęgi niezerowe wyrazy.
-- 20 kwi 2016, o 17:44 --
No a wzór \(\displaystyle{ f^{9}}\) uzyskujemy, nakładając na dowolne \(\displaystyle{ (x,y)^{T} \in \RR^{2}}\)
macierz \(\displaystyle{ A^{9}}\), czyli dziewiątą potęgę macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ f}\).
Mianowicie \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), zaś kolumnami macierzy \(\displaystyle{ P}\) są odpowiednie wektory własne odwzorowania \(\displaystyle{ f}\), natomiast D ma poza przekątną zera, a na przekątnej (w kolejności takiej, w jakiej ustawiliśmy odpowiednio wektory własne) są wartości własne \(\displaystyle{ f}\) odpowiadające tym wektorom własnym.
Czyli tutaj mamy
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -1& 0\\ 0 & 2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]^{-1}}\)
- więc tę drugą macierz odwróć, np. sklejając ją z macierzą identyczności i wykonując operacje wierszowe (był też super wredny wzór z macierzą dopełnień, którego nie pamiętam).
No to teraz jeśli masz macierz \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), to \(\displaystyle{ A^{9}=PD^{9}P^{-1}}\), co wynika z łączności mnożenia macierzy: \(\displaystyle{ PDP^{-1} \codt PDP^{-1}=PD(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{2}P^{-1}}\) i tak dalej (chyba widać zasadę).
Zaś macierz diagonalną potęguje się tak, że po prostu podnosi się do odpowiedniej potęgi niezerowe wyrazy.
-- 20 kwi 2016, o 17:44 --
No a wzór \(\displaystyle{ f^{9}}\) uzyskujemy, nakładając na dowolne \(\displaystyle{ (x,y)^{T} \in \RR^{2}}\)
macierz \(\displaystyle{ A^{9}}\), czyli dziewiątą potęgę macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ f}\).
- nuxie
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 7 lip 2015, o 16:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie
Jej, bardzo bardzo dziękuję! Dzięki Tobie wreszcie to zrozumiałam, naprawdę, jestem Ci bardzo wdzięczna.
Mam jednak jeszcze tylko jeden problem, czuję się strasznie głupio, ale nie radzę sobie z tym ostatnim krokiem. Wyznaczyłam moją bazę przekształcenia liniowego podniesioną do potęgi 9, i teraz nie mam pojęcia jak powinnam wyznaczyć \(\displaystyle{ f^9(x,y)}\).
Edit: Chyba wymyśliłam - teraz, mając macierz A, biorę moje wektory z baz standardowych i za pomocą macierzy A obliczam \(\displaystyle{ f(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,1)}\). Mając te wartości, mogę znaleźć ogólny wzór na moje odwzorowanie (to już umiem robić). Mam rację?
Mam jednak jeszcze tylko jeden problem, czuję się strasznie głupio, ale nie radzę sobie z tym ostatnim krokiem. Wyznaczyłam moją bazę przekształcenia liniowego podniesioną do potęgi 9, i teraz nie mam pojęcia jak powinnam wyznaczyć \(\displaystyle{ f^9(x,y)}\).
Edit: Chyba wymyśliłam - teraz, mając macierz A, biorę moje wektory z baz standardowych i za pomocą macierzy A obliczam \(\displaystyle{ f(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,1)}\). Mając te wartości, mogę znaleźć ogólny wzór na moje odwzorowanie (to już umiem robić). Mam rację?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie
nuxie, tak, taki sposób jest jak najbardziej OK.
Benny01, według tego, czego mnie uczono, nie masz racji. Ale dowodów nie pamiętam.
Tu coś znalazłem:
Na stronie 12. (wg numeracji stron, nie numeracji PDF-a) jest coś, co zdaje się potwierdzać to, co napisałem, aczkolwiek może być tak, że nie umiem czytać.
Benny01, według tego, czego mnie uczono, nie masz racji. Ale dowodów nie pamiętam.
Tu coś znalazłem:
Na stronie 12. (wg numeracji stron, nie numeracji PDF-a) jest coś, co zdaje się potwierdzać to, co napisałem, aczkolwiek może być tak, że nie umiem czytać.