Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
nuxie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 7 lip 2015, o 16:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy

Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Post autor: nuxie »

Cześć.
Jutro mam kolokwium z algebry i mam ogromny problem z jednym typem zadań, mianowicie przykładowe polecenie brzmi następująco:
Dla odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ v _{1}=(-2,-5)}\) i \(\displaystyle{ v _{2}=(1,3)}\) są wektorami własnymi odpowiadającymi odpowiednio wartościom własnym \(\displaystyle{ p _{1}=-1}\) oraz \(\displaystyle{ p_{2}=2}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ f^9(x,y)}\).
Czy mogłabym prosić o wskazówki, jak zabrać się za takie zadanie?
Z góry wielkie dzięki.
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2016, o 18:39 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Post autor: NogaWeza »

Nie wiem co oznacza \(\displaystyle{ f^9 (x,y)}\), ale mogę Ci powiedzieć jak wyznaczyć jawny wzór na przekształcenie \(\displaystyle{ f(x,y)}\), o ile to Ci w czymś pomoże.
Na początek napiszmy macierz odwzorowania w postaci ogólnej, niech będzie:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Znamy wartości własne i odpowiadające im wektory własne, więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ Av_i = p_i v_i}\), otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i w ten sposób dostaniemy macierz przekształcenia. Co dalej to nie wiem, bo się nie znam.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

znając wektory własne, obliczyć f^9(x,y)

Post autor: Premislav »

Oznaczmy macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) literą \(\displaystyle{ A}\). Skoro mamy podane wektory własne i odpowiadające im wartości własne, to możemy łatwo wyznaczyć postać diagonalną macierzy \(\displaystyle{ A}\), zaś macierze w postaci diagonalnej bardzo łatwo się potęguje.

Mianowicie \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), zaś kolumnami macierzy \(\displaystyle{ P}\) są odpowiednie wektory własne odwzorowania \(\displaystyle{ f}\), natomiast D ma poza przekątną zera, a na przekątnej (w kolejności takiej, w jakiej ustawiliśmy odpowiednio wektory własne) są wartości własne \(\displaystyle{ f}\) odpowiadające tym wektorom własnym.

Czyli tutaj mamy
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -1& 0\\ 0 & 2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1\\ -5 & 3 \end{array} \right]^{-1}}\)
- więc tę drugą macierz odwróć, np. sklejając ją z macierzą identyczności i wykonując operacje wierszowe (był też super wredny wzór z macierzą dopełnień, którego nie pamiętam).

No to teraz jeśli masz macierz \(\displaystyle{ A=PDP^{-1}}\), to \(\displaystyle{ A^{9}=PD^{9}P^{-1}}\), co wynika z łączności mnożenia macierzy: \(\displaystyle{ PDP^{-1} \codt PDP^{-1}=PD(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{2}P^{-1}}\) i tak dalej (chyba widać zasadę).

Zaś macierz diagonalną potęguje się tak, że po prostu podnosi się do odpowiedniej potęgi niezerowe wyrazy.

-- 20 kwi 2016, o 17:44 --

No a wzór \(\displaystyle{ f^{9}}\) uzyskujemy, nakładając na dowolne \(\displaystyle{ (x,y)^{T} \in \RR^{2}}\)
macierz \(\displaystyle{ A^{9}}\), czyli dziewiątą potęgę macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ f}\).
Awatar użytkownika
nuxie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 7 lip 2015, o 16:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy

Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Post autor: nuxie »

Jej, bardzo bardzo dziękuję! Dzięki Tobie wreszcie to zrozumiałam, naprawdę, jestem Ci bardzo wdzięczna.
Mam jednak jeszcze tylko jeden problem, czuję się strasznie głupio, ale nie radzę sobie z tym ostatnim krokiem. Wyznaczyłam moją bazę przekształcenia liniowego podniesioną do potęgi 9, i teraz nie mam pojęcia jak powinnam wyznaczyć \(\displaystyle{ f^9(x,y)}\).


Edit: Chyba wymyśliłam - teraz, mając macierz A, biorę moje wektory z baz standardowych i za pomocą macierzy A obliczam \(\displaystyle{ f(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,1)}\). Mając te wartości, mogę znaleźć ogólny wzór na moje odwzorowanie (to już umiem robić). Mam rację?
Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1116
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 115 razy

Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Post autor: Benny01 »

Czy aby te wektory własne nie tworzą macierzy \(\displaystyle{ P^{-1}}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Znając wektory własne, obliczyć odwzorowanie

Post autor: Premislav »

nuxie, tak, taki sposób jest jak najbardziej OK.
Benny01, według tego, czego mnie uczono, nie masz racji. Ale dowodów nie pamiętam.
Tu coś znalazłem:
Na stronie 12. (wg numeracji stron, nie numeracji PDF-a) jest coś, co zdaje się potwierdzać to, co napisałem, aczkolwiek może być tak, że nie umiem czytać.
ODPOWIEDZ