Sprawdzić, czy podane zbiory tworzą podprzestrzeń liniową

[wojtek915]

Mam problem z takim zadaniem:

Sprawdzić, czy podane zbiory tworzą podprzestrzeń liniową w podanych przestrzeniach \(\displaystyle{ V}\):

\(\displaystyle{ W= \left\{ (x; y; z; t) \in \RR ^{4} : |x|= |y| \right\}, V = \RR ^{4} ;}\)

[Premislav]

No na pewno nie...
Rozważ np. wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\). Oczywiście należą one do \(\displaystyle{ W}\). A co powiesz o ich sumie?

[wojtek915]

Suma wynosi: \(\displaystyle{ (2,0,0,0)}\) czyli nie należy do naszego zbioru czyli zbiór nie jest podprzestrzenia V. Mam jeszcze pytanie, czy można to udowodnić na symbolach:
\(\displaystyle{ w\left\{ x,y,z,t\right\}}\)
\(\displaystyle{ n\left\{ x,y,z,t\right\}}\)

[Kacperdev]

Można to uogólniać, ale to niepotrzebne. Wskazanie chociaż jednego kontrprzykładu (tak jak podał tu go Premislav), obala całą teorię.

Ale jeżeli chcesz na iksach i igrekach, to proszę:
Tak naprawdę zadanie sprowadzenie się do pokazania, że nieprawdą jest dla dwóch dowolonych wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1,z_1,t_1\right) , \left( x_2,y_2,z_2,t_2\right)}\), o

\(\displaystyle{ \left| x_1\right| = \left| y_1\right| \wedge \left| x_2\right| = \left| y_2\right|}\) to stąd nie wynika, że \(\displaystyle{ \left| x_1+x_2\right| = \left| y_1+y_2\right|}\)

dowód poprowadzmy nie wprost:

\(\displaystyle{ \left| x_1\right| = \left| y_1\right| \wedge \left| x_2\right| = \left| y_2\right| \wedge \left| x_1+x_2\right| \neq \left| y_1+y_2\right|}\)

ale dodając do siebie stronami dwa pierwsze równania oraz korzystając z wlasnosci wart. bezezglednej oraz, że skoro \(\displaystyle{ \left| x_1+x_2\right| \neq \left| y_1+y_2\right|}\) to \(\displaystyle{ \left| x_1+x_2\right| > \left| y_1+y_2\right|}\) lub \(\displaystyle{ \left| x_1+x_2\right| < \left| y_1+y_2\right|}\). Sprawdzmy pierwszy przypadek.

\(\displaystyle{ \left| y_1+y_2\right| < \left| x_1+x_2\right| \le \left| x_1\right| +\left| x_2\right| = \left| y_1\right|+\left| y_2\right|}\)

no ale stad wynika, że \(\displaystyle{ \left| y_1+y_2\right| < \left| y_1\right|+\left| y_2\right|}\)

co jest nieprawdą ze względu na dowolność \(\displaystyle{ y_i}\)

podobnie rozpatrujemy drugi przypadek.

[wojtek915]

Dziękuję za odpowiedź.
Robię teraz samemu kolejny przykład:

\(\displaystyle{ W=\left\{x,y,z,t \in R ^{4}, x ^{2}+z ^{2}=0 \right\} V \in R ^{4}}\)

czyli wystarczy że napiszę, że jedynym wektorem, który należy do W jest (0,0,0,0), zatem suma dwóch takich samych wektorów (0,0,0,0) będzie dawał to samo, oraz iloczyn przez skalar też nic nie zmieni, zatem możemy przyjąć że W jest podprzestrzenią V.

Czy to będzie inczej niż myślę i skoro W ma tylko jeden wektor to nie może być podprzestrzenią V?

[Kacperdev]

Za duzo machania rączkami.

\(\displaystyle{ x ^{2}+z ^{2}=0 \Rightarrow x=z=0}\)

zatem wszystkie wektory z przestrzeni są postaci:

\(\displaystyle{ \left( 0,y,0,t\right) \in W}\)

wystarczy teraz sprawdzić czy suma dwóch wektorów tej postaci należy do \(\displaystyle{ W}\) i czy przemnożenie przez skalar także.

PS
\(\displaystyle{ V=\RR^{4}}\).

[norwimaj]

Tak naprawdę zadanie sprowadzenie się do pokazania, że nieprawdą jest dla dwóch dowolonych wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1,z_1,t_1\right) , \left( x_2,y_2,z_2,t_2\right)}\), o

\(\displaystyle{ \left| x_1\right| = \left| y_1\right| \wedge \left| x_2\right| = \left| y_2\right|}\) to stąd nie wynika, że \(\displaystyle{ \left| x_1+x_2\right| = \left| y_1+y_2\right|}\)

dowód poprowadzmy nie wprost:

\(\displaystyle{ \left| x_1\right| = \left| y_1\right| \wedge \left| x_2\right| = \left| y_2\right| \wedge \left| x_1+x_2\right| \neq \left| y_1+y_2\right|}\)

Proszę o wyraźniejsze napisanie, jaką tezę dowodzisz i jakie jest założenie "nie wprost".-- 20 kwi 2016, o 18:57 --

czyli wystarczy że napiszę, że jedynym wektorem, który należy do W jest (0,0,0,0),

To nie jest prawda.

[Kacperdev]

norwimaj, racja. De facto dowiodłem coś zupełnie przeciwnego. Niestety nie moge znaleźć błędu w swoim rozumowaniu.

[norwimaj]

De facto dowiodłem coś zupełnie przeciwnego.

Niezupełnie, bo zdanie przeciwne miałoby zmieniony kwantyfikator.

Niestety nie moge znaleźć błędu w swoim rozumowaniu.

Moim zdaniem można poprawić końcówkę, gdzie powołujesz się na dowolność wyboru \(\displaystyle{ y_1,y_2.}\) W rzeczywistości wybieramy cztery liczby: \(\displaystyle{ x_1,x_2,y_1,y_2,}\) ale już nie dowolnie, bo jesteśmy w trakcie rozpatrywania pierwszego przypadku. W tej sytuacji najlepiej jest podać konkretne wartości dla których otrzymujemy zdanie fałszywe.