Witam. Polecenie takie jak w temacie, a dane są takie:
\(\displaystyle{ V = \left\{ \left( x, y, z\right) \in \RR^3 : 4x - y +2z=0\right\}}\)
Rozumiem, że jest to równanie płaszczyzny, więc teraz powinienem teraz zapisać to jako:
\(\displaystyle{ V = \Lin{(4,-1,2,0)}}\)? (0 jako, że \(\displaystyle{ D=0}\))
czy może rozpisać to tak, że \(\displaystyle{ V = \left\{ (\frac{y-2z}{4},-4x-2z,\frac{y-4x}{2})\right\}}\) i coś dalej z tym robić?
Znajdź generatory przestrzeni liniowej
-
Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Znajdź generatory przestrzeni liniowej
Rozumiesz znaczenie pojecia spanu (\(\displaystyle{ \Lin V}\)) ?Frynio pisze:
Rozumiem, że jest to równanie płaszczyzny, więc teraz powinienem teraz zapisać to jako:
\(\displaystyle{ V = \Lin{(4,-1,2,0)}}\)? (0 jako, że \(\displaystyle{ D=0}\))
Skoro jak sam zauważyłeś można tą przestrzeń zinterpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu, to ilu wektorów potrzeba by jednoznacznie ją wyznaczyć?
Jesteśmy jednak w przestrzeniach liniowych i nie potrzebujemy interpretacji.
\(\displaystyle{ V = \left\{ \left( x, y, z\right) \in \RR^3 : 4x - y +2z=0\right\}}\)
wyznaczam \(\displaystyle{ y=4x+2z}\)
zatem wszystkie wektory należące do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) są postaci:
\(\displaystyle{ \left( x,4x+2z,z\right) \in V}\)
stąd \(\displaystyle{ x\left( 1,4,0\right)+z\left(0,2,1 \right) \in V \text{ gdzie } x,z \in \RR}\)
Wynika,że wektory \(\displaystyle{ \left( 1,4,0\right), \left(0,2,1 \right)}\) sa przykładowym zbiorem generatorów co możemy zapisać:
\(\displaystyle{ V = \Lin \left[ \left( 1,4,0\right), \left(0,2,1 \right) \right]}\)
Znajdź generatory przestrzeni liniowej
A jeśli mam przypadek, że:
\(\displaystyle{ V = \left\{ \left( x, y, z, t\right) \in \RR^4 : x - y = y - z = z - t\right\}}\)
To rozpisuję, że np.:
\(\displaystyle{ x-y=y-z \Rightarrow y=\frac{x+z}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x, \frac{x+z}{2}, z, t\right)}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ x\left(1,\frac{1}{2},0\right)+z\left(0,\frac{1}{2},1,0\right)+t\left(0,0,0,1\right)}\)
\(\displaystyle{ V=\Lin\left[ \left(1,\frac{1}{2},0,0\right), \left(0,\frac{1}{2},1,0\right), (0,0,0,1)\right]}\)
Tak to trzeba zrobić?
\(\displaystyle{ V = \left\{ \left( x, y, z, t\right) \in \RR^4 : x - y = y - z = z - t\right\}}\)
To rozpisuję, że np.:
\(\displaystyle{ x-y=y-z \Rightarrow y=\frac{x+z}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left(x, \frac{x+z}{2}, z, t\right)}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ x\left(1,\frac{1}{2},0\right)+z\left(0,\frac{1}{2},1,0\right)+t\left(0,0,0,1\right)}\)
\(\displaystyle{ V=\Lin\left[ \left(1,\frac{1}{2},0,0\right), \left(0,\frac{1}{2},1,0\right), (0,0,0,1)\right]}\)
Tak to trzeba zrobić?
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2016, o 00:19 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: \Lin Poprawa wiadomości.
Powód: \Lin Poprawa wiadomości.
Znajdź generatory przestrzeni liniowej
No dobrze, to lecę dalej
\(\displaystyle{ y-z=z-t \Rightarrow y=2z-t}\)
\(\displaystyle{ 2z-t=\frac{x+z}{2} \Rightarrow t=\frac{-x+3z}{2}}\)
I teraz
\(\displaystyle{ x\left(1,\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)+z\left(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ V=\Lin\left[ \left(1,\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right), \left(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)]}\)
\(\displaystyle{ y-z=z-t \Rightarrow y=2z-t}\)
\(\displaystyle{ 2z-t=\frac{x+z}{2} \Rightarrow t=\frac{-x+3z}{2}}\)
I teraz
\(\displaystyle{ x\left(1,\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)+z\left(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)\right)}\)
\(\displaystyle{ V=\Lin\left[ \left(1,\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right), \left(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right)]}\)