Sprawdzić, czy zbiór W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V:
a) \(\displaystyle{ W = \left( (2x-y,y+z) \in R^2 : x,y,z \in R\right) , V=R^2}\)
b) \(\displaystyle{ W = \left( (x,y,z,t) \in R^4 : x-y=z-t \right) , V=R^4}\)
I zrobiłem tak:
a) \(\displaystyle{ u=(2x_{1}-y_{1},y_{1}+z_{1}), v=(2x_{2}-y_{2},y_{2}+z_{2})}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+ \alpha_{2}v=\left( \alpha_{1}(2x_{1}-y_{1}), \alpha_{1}(y_{1}+z_{1})\right)+\left( \alpha_{2}(2x_{2}-y_{2}), \alpha_{2}(y_{2}+z_{2})\right)}\)
I co z tego wynika?
b) \(\displaystyle{ x-y=z-t \Rightarrow x=y-t+z}\)
\(\displaystyle{ u=(y_{1}-t_{1}+z_{1}, y_{1}, z_{1}, t_{1}), v=(y_{2}-t_{2}+z_{2}, y_{2}, z_{2}, t_{2})}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+ \alpha_{2}v=\Bigl(\alpha_{1}(y_{1}-t_{1}+z_{1})+\alpha_{1}(y_{2}-t_{2}+z_{2}), \alpha_{1}y_{1} + \alpha_{2}y_{2}, \alpha_{1}z_{1} + \alpha_{2}z_{2}, \alpha_{1}t_{1} + \alpha_{2}t_{2}\Bigr)}\)
I znów, co mi to daje, jak mam dowieść tego, co mam w poleceniu?
Podprzestrzenie liniowe
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Podprzestrzenie liniowe
Nie wiem, po co się tak męczyć z rozpisywaniem współczynników:
a) można "sprytnie" zauważyć, że \(\displaystyle{ W=V=R^{2}}\). Istotnie, oczywiście \(\displaystyle{ W\subset R^{2}}\) z definicji, więc teraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (a,b) \in \RR^{2}}\). Wówczas
biorąc \(\displaystyle{ y=0,x= \frac{a}{2}, z=b}\) łatwo dostajemy, że \(\displaystyle{ (a,b) \in W}\). Wobec dowolności \(\displaystyle{ (a,b)}\) kończy to dowód zawierania \(\displaystyle{ R^{2}\subset W}\). Zatem \(\displaystyle{ W=R^{2}}\), więc \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) (niewłaściwą).
b) inaczej: możemy np. wyznaczyć \(\displaystyle{ t=-x+y+z}\), czyli
\(\displaystyle{ W=\left\{ (x,y,z,-x+y+z): x,y,z \in \RR\right\}=\left\{x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,1)+z(0,0,1,1): x,y,z \in \RR \right\}}\). Stąd łatwo widać, że jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ R^{4}}\).
A gdybyś jednak upierał się przy sprawdzaniu bezpośrednio z definicji:
a) \(\displaystyle{ \alpha_{1}u+ \alpha_{2}v=\left( \alpha_{1}(2x_{1}-y_{1}), \alpha_{1}(y_{1}+z_{1})\right)+\left( \alpha_{2}(2x_{2}-y_{2}), \alpha_{2}(y_{2}+z_{2})\right)=\\=(2({ \blue\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}})-{\red \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}},{\red \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}}+{\green \alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}})}\)
Zatem w szczególności biorąc \(\displaystyle{ x_{0}=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}}, y_{0}=\alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}, z_{0}=\alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}}\)
widzimy, że dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{2} \in \RR}\) oraz wektorów \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v \in W}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x_{0},y_{0},z_{0}\in \RR}\), że
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+\alpha_{2}v=(2x_{0}-y_{0},y_{0}+z_{0})}\), toteż \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).
b) ustalasz dowolne \(\displaystyle{ u, v \in W}\) (postaci takiej jak w Twoim poście) i skalary \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \RR}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+\alpha_{2}v=\\=\Bigl(\alpha_{1}(y_{1}-t_{1}+z_{1})+\alpha_{2}(y_{2}-t_{2}+z_{2}), \alpha_{1}y_{1} + \alpha_{2}y_{2}, \alpha_{1}z_{1} + \alpha_{2}z_{2}, \alpha_{1}t_{1} + \alpha_{2}t_{2}\Bigr)=\\=\left( {\blue \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}}-({\red\alpha_{1}t_{1}+\alpha_{2}t_{2}})+{\green \alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}}, {\blue \alpha_{1}y_{1} + \alpha_{2}y_{2}},{\green \alpha_{1}z_{1} + \alpha_{2}z_{2}}, {\red \alpha_{1}t_{1} + \alpha_{2}t_{2}}\right)}\)
i wystarczy położyć...
a) można "sprytnie" zauważyć, że \(\displaystyle{ W=V=R^{2}}\). Istotnie, oczywiście \(\displaystyle{ W\subset R^{2}}\) z definicji, więc teraz ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (a,b) \in \RR^{2}}\). Wówczas
biorąc \(\displaystyle{ y=0,x= \frac{a}{2}, z=b}\) łatwo dostajemy, że \(\displaystyle{ (a,b) \in W}\). Wobec dowolności \(\displaystyle{ (a,b)}\) kończy to dowód zawierania \(\displaystyle{ R^{2}\subset W}\). Zatem \(\displaystyle{ W=R^{2}}\), więc \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V}\) (niewłaściwą).
b) inaczej: możemy np. wyznaczyć \(\displaystyle{ t=-x+y+z}\), czyli
\(\displaystyle{ W=\left\{ (x,y,z,-x+y+z): x,y,z \in \RR\right\}=\left\{x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,1)+z(0,0,1,1): x,y,z \in \RR \right\}}\). Stąd łatwo widać, że jest to podprzestrzeń liniowa \(\displaystyle{ R^{4}}\).
A gdybyś jednak upierał się przy sprawdzaniu bezpośrednio z definicji:
a) \(\displaystyle{ \alpha_{1}u+ \alpha_{2}v=\left( \alpha_{1}(2x_{1}-y_{1}), \alpha_{1}(y_{1}+z_{1})\right)+\left( \alpha_{2}(2x_{2}-y_{2}), \alpha_{2}(y_{2}+z_{2})\right)=\\=(2({ \blue\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}})-{\red \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}},{\red \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}}+{\green \alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}})}\)
Zatem w szczególności biorąc \(\displaystyle{ x_{0}=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}}, y_{0}=\alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}, z_{0}=\alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}}\)
widzimy, że dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha_{1}}\) i \(\displaystyle{ \alpha_{2} \in \RR}\) oraz wektorów \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v \in W}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x_{0},y_{0},z_{0}\in \RR}\), że
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+\alpha_{2}v=(2x_{0}-y_{0},y_{0}+z_{0})}\), toteż \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR^{2}}\).
b) ustalasz dowolne \(\displaystyle{ u, v \in W}\) (postaci takiej jak w Twoim poście) i skalary \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \RR}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \alpha_{1}u+\alpha_{2}v=\\=\Bigl(\alpha_{1}(y_{1}-t_{1}+z_{1})+\alpha_{2}(y_{2}-t_{2}+z_{2}), \alpha_{1}y_{1} + \alpha_{2}y_{2}, \alpha_{1}z_{1} + \alpha_{2}z_{2}, \alpha_{1}t_{1} + \alpha_{2}t_{2}\Bigr)=\\=\left( {\blue \alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}}-({\red\alpha_{1}t_{1}+\alpha_{2}t_{2}})+{\green \alpha_{1}z_{1}+\alpha_{2}z_{2}}, {\blue \alpha_{1}y_{1} + \alpha_{2}y_{2}},{\green \alpha_{1}z_{1} + \alpha_{2}z_{2}}, {\red \alpha_{1}t_{1} + \alpha_{2}t_{2}}\right)}\)
i wystarczy położyć...