Hej,
Nie do końca wiem jak poradzić sobie z pewnym zadaniem.
Niech \(\displaystyle{ V=\RR^{3}}\). Sprawdzić, że formy liniowe \(\displaystyle{ \phi_{1}}\), \(\displaystyle{ \phi_{2}}\), \(\displaystyle{ \phi_{3} \in V^{*}}\), dane wzorami \(\displaystyle{ \phi_{k}( \vec{x}) = x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2kx_{k}}\), \(\displaystyle{ k=1,2,3}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ V^{*}}\)
Bardzo proszę o jakąś podpowiedź, bo nie bardzo wiem jak to ruszyć.
Z góry dzięki!
Pozdrawiam
Sprawdzić, że formy liniowe tworzą bazę
-
spammer
- Użytkownik
- Posty: 174
- Rejestracja: 15 sty 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 12 razy
Sprawdzić, że formy liniowe tworzą bazę
Dzięki za odzew
Te czynniki w wyznaczniku to wziąłeś z podstawienia kolejnych \(\displaystyle{ k}\) do wzoru \(\displaystyle{ \phi_{k}( \vec{x}) = x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2kx_{k}}\) prawda?
Czy wyznacznik nie powinien wtedy wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix}-1&1&1\\ 1& -3&1\\ 1&1&-5 \end{matrix}\right| \neq 0.}\) ?
Jest on różny od zera.
Ogólnie, to mam wrażenie, że czegoś mi brakuje w tym zadaniu
No bo, mam dane formy liniowe w przestrzeni dualnej \(\displaystyle{ V^{*}}\). Kojarzy mi się też twierdzenie, które mówi, że
jeśli \(\displaystyle{ \left( e_{1}, ..., e_{n} \right)}\) jest bazą w \(\displaystyle{ V}\), a \(\displaystyle{ e^{1}, ..., e^{n}}\) są formami liniowymi dla których:
\(\displaystyle{ e^{i}(e_{j})=\delta_{ij}= \begin{cases} 1 \ dla \ i=j \\ 0 \ dla \ i \neq j \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ (e^{1},...,e^{n})}\) jest bazą w \(\displaystyle{ V^{*}}\)
No i nie mając bazy w \(\displaystyle{ V}\) nie wiem jak pokazać, że formy liniowe są bazą \(\displaystyle{ V^{*}}\)
Te czynniki w wyznaczniku to wziąłeś z podstawienia kolejnych \(\displaystyle{ k}\) do wzoru \(\displaystyle{ \phi_{k}( \vec{x}) = x_{1} + x_{2} + x_{3} - 2kx_{k}}\) prawda?
Czy wyznacznik nie powinien wtedy wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix}-1&1&1\\ 1& -3&1\\ 1&1&-5 \end{matrix}\right| \neq 0.}\) ?
Jest on różny od zera.
Ogólnie, to mam wrażenie, że czegoś mi brakuje w tym zadaniu
No bo, mam dane formy liniowe w przestrzeni dualnej \(\displaystyle{ V^{*}}\). Kojarzy mi się też twierdzenie, które mówi, że
jeśli \(\displaystyle{ \left( e_{1}, ..., e_{n} \right)}\) jest bazą w \(\displaystyle{ V}\), a \(\displaystyle{ e^{1}, ..., e^{n}}\) są formami liniowymi dla których:
\(\displaystyle{ e^{i}(e_{j})=\delta_{ij}= \begin{cases} 1 \ dla \ i=j \\ 0 \ dla \ i \neq j \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ (e^{1},...,e^{n})}\) jest bazą w \(\displaystyle{ V^{*}}\)
No i nie mając bazy w \(\displaystyle{ V}\) nie wiem jak pokazać, że formy liniowe są bazą \(\displaystyle{ V^{*}}\)