Czy zbiory są podprzestrzeniami R^4

[wazka260196]

Tak jak w pytaniu. Czy te zbiory są podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{4}}\):

a) \(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x,2x,y,2y+1\right) \in \mathbb{R} ^{4}:x,y \in \mathbb{R} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ V=\left\{ \left(y+x+3z,2x-y,y,-y+z\right) \in \mathbb{R} ^{4}:x,y,z \in \mathbb{R} \right\}}\)

[Premislav]

a) wskazówka: czy do tego zbioru należy wektor zerowy \(\displaystyle{ \RR^{4}}\)? Przyrównaj po współrzędnych.
b) tak; elementy \(\displaystyle{ V}\) można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ x\cdot (1,2,0,0)^{T}+y\cdot(1,-1,1,-1)^{T}+z\cdot(3,0,0,1)^{T}}\) dla \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR}\). Czy opierając się na tym, potrafisz uzasadnić, że to jest podprzestrzeń?

[wazka260196]

Na kolokwium zadanie to rozwiązałem w następujący sposób:

Niech:
\(\displaystyle{ \vec{ v_{1} } \in V}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{ v_{1} } = \left( x_{1},2x_{1},y_{1},2y_{1} + 1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{ v_{2} } \in V}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{ v_{2} } = \left( x_{2},2x_{2},y_{2},2y_{2} + 1 \right)}\)

Zbadałem czy również kombinacja liniowa tych wektorów należy do \(\displaystyle{ V}\):
\(\displaystyle{ \alpha \vec{ v_{1} } + \beta \vec{ v_{2} }}\)

Po pogrupowaniu wyrazów wyszło mi iż \(\displaystyle{ \alpha \vec{ v_{1} } + \beta \vec{ v_{2} } = \left( \alpha x_{1} + \beta x_{2}, 2 \left(\alpha x_{1} + \beta x_{2} \right), \alpha y_{1} + \beta y_{2} , \alpha\left( 2y_{1} + 1\right) + \beta\left( 2y_{2}+1\right) \right)}\)

Zauważyłem że ostatni współczynnik nie ma postaci takiej jak w \(\displaystyle{ \vec{ v_{1} }}\) lub \(\displaystyle{ \vec{ v_{2} }}\), ponieważ \(\displaystyle{ 2\alpha x_{1} + 2\beta x_{2} + 1 \neq 2\alpha y_{1} + 2\beta y_{2} + \alpha + \beta}\).

Drugi przykład wykonałem analogicznie. Czy jest to poprawne rozumowanie (w szczególności część z porównywaniem postaci współczynników)?

[Kacperdev]

Bardzo na około. Wystarczy jak już zostało wspomniane sprawdzić, czy wektor zerowy nalezy do przestrzeni.

Poza tym skąd wiesz jaka powinna być postać?
Najlepiej jak już sprawdzasz kombinacje liniową pokazać, że nie dla każdego \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) kombinacja należy do przestrzeni.