Liniowa niezależność

[cz0rnyfj]

Cześć, mam problem z zadaniem:

Zbadaj liniową nezależność układu wektorów:
\(\displaystyle{ f = \sin x}\)
\(\displaystyle{ g = \cos x}\)
w przestrzeni \(\displaystyle{ C([0, 2 \pi])}\).


Rozpatrując równość \(\displaystyle{ a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = 0}\).
\(\displaystyle{ a = b = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = -b}\) gdy \(\displaystyle{ x = \pi / 4}\).
Zatem układ ten jest zależny.

Tylko że w moim podręczniku jest odpowiedź że jest to układ niezależny. Proszę o sprawdzenie czy moje rozwiązanie jest poprawne i ewentualną podpowiedz gdzie popełniłem błąd.

[leg14]

\(\displaystyle{ a = b = 0}\)

Sprawdz definicje,czy rzeczywiscie ta odpowiedz swiadczy o zaleznosci?

\(\displaystyle{ a = -b}\) gdy \(\displaystyle{ x = \pi / 4}\)

Ta rownosc ma zachodzic dla calych funkcji,a nie ich wartosci na wybranych argumentach.