Znaleźć bazy i wymiary podanych podprzestrzenii

[misio_klb]

\(\displaystyle{ B = \left\{ (x,y,z,t) \in \RR^{4} : x=2y= -t\right\}}\)

\(\displaystyle{ C = \left\{ (u,v,x,y,z) \in \RR^{5} : u+v=0 , x+y+z =0 \right\}}\)

\(\displaystyle{ D = \left\{ (u,v,w,x,y,z) \in \RR^{6} : u+v=0 , x+y+z =0 , x - u + y -v+z=0\right\}}\)

Help, whatever, proszę o pomoc, wykładowca leci z teorią średnio zrozumiałą, sam próbuje robić zadania z tych przestrzenii liniowych, ale tego nie potrafię wyliczyć.
Jeśli ktoś potrafiłby rozwiązać i wstawić tutaj, byłbym wdzięczny.
Miłego dnia

[Kacperdev]

Pomogę Ci z pierwszym, resztę robi się bardzo podobnie.

Warunek na przestrzeń mówi nam, że \(\displaystyle{ \left( x,y,z,t\right) \in B \Leftrightarrow x=2y= -t}\)

Z tego zaś wynika, że: \(\displaystyle{ x=2y \wedge t=-2y}\). Zatem wszystkie wektory z podprzestrzeni są postaci: \(\displaystyle{ \left( 2y,y,z,-2y\right) \in B}\)

a dalej: \(\displaystyle{ y\left( 2,1,0,-2\right) + z\left( 0,0,1,0\right) \in B}\) dla \(\displaystyle{ y,z \in \RR}\)

Każda kombinacja liniowa tych wektorów wyczerpuje nam podprzestrzeń. Wystarczy więc sprawdzić czy te dwa wektory są liniowo niezależne (wiemy, że generatorami są już na pewno)

czyli czy \(\displaystyle{ y\left( 2,1,0,-2\right) + z\left( 0,0,1,0\right) = 0 \Leftrightarrow y=z=0}\)

a to oczywiśćie prawda. Więc przykładową bazą \(\displaystyle{ B=\left\{ \left( 2,1,0,-2\right),\left( 0,0,1,0\right) \right\}}\).

A co za tym idzie \(\displaystyle{ \dim B = 2}\)

[misio_klb]

wobec tego spróbujmy C) :

\(\displaystyle{ u = - v}\)
\(\displaystyle{ x + y = z}\)

wszystkie wektory są postaci \(\displaystyle{ (u,-u,x,y,x+y) \in B}\)

\(\displaystyle{ u(1,-1,0,0,0) + x(0,0,1,0,1) +y(0,0,0,1,1) \in B}\) dla \(\displaystyle{ u,x,y \in \RR}\)

czyli wobec tego \(\displaystyle{ \dim C=3}\), bo "opisuję" jakby tą bazę przez 3 współrzędne, tak ?

D)

tutaj dostałem opis typu \(\displaystyle{ (u,-u,w,x,y,-x-y)}\)

idąc dalej skrótem myślowym, czy \(\displaystyle{ \dim=4}\) ?

[Kacperdev]

Zamiast \(\displaystyle{ B}\) powinno być \(\displaystyle{ C}\)

czyli wobec tego \(\displaystyle{ \dim C=3}\), bo "opisuję" jakby tą bazę przez 3 współrzędne, tak ?

... bo możemy opisać przestrzeń za pomocą dokładnie trzech wektorów.

[misio_klb]

tzn w D odp to dimD=4, tak ?