Znaleźć jednorodny układ równań liniowych złożony z dwóch równań, dla którego wektory \(\displaystyle{ (1,4,-2,2,-1)^T,(1,13,-1,2,9)^T,(2,7,-8,4,-5)^T}\) stanowią bazę przestrzeni rozwiązań.
Potrafię stworzyć układ o tej własności składający się z trzech równań jednak z dwoma mam problem.
Znaleźć jednorodny układ równań
-
bartex42
- Użytkownik
- Posty: 43
- Rejestracja: 17 mar 2014, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 19 razy
Znaleźć jednorodny układ równań
No to napiszmy układ dwóch równań jednorodnych:
\(\displaystyle{ a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{51}x_5=0}\)
\(\displaystyle{ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{52}x_5=0}\)
Wstawiając do pierwszego równania wektory rozwiązań, dostaniemy trzy niezależne równania na \(\displaystyle{ a_{i1}}\). Podobnie dostaniemy trzy równania na \(\displaystyle{ a_{i2}}\). Wstawmy sobie do pierwszych \(\displaystyle{ a_{11}=1, a_{12}=0}\), a do drugich \(\displaystyle{ a_{21}=0, a_{22}=1}\), żeby na pewno pierwsze (to szukane) równanie nie było zależne z drugim. Po wstawieniu wyjdą nam dwa układy trzech równań z trzema niewiadomymi, które już powinny się dać jednoznacznie rozwiązać (trzeba mieć pecha, żeby się nie dały, ale jeśli tak jest, to trzeba spróbować albo inne liczby, albo gdzie indziej podstawić). I w ten sposób dostajemy macierz wszystkie dziesięć współczynników naszego szukanego układu.
\(\displaystyle{ a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{51}x_5=0}\)
\(\displaystyle{ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{52}x_5=0}\)
Wstawiając do pierwszego równania wektory rozwiązań, dostaniemy trzy niezależne równania na \(\displaystyle{ a_{i1}}\). Podobnie dostaniemy trzy równania na \(\displaystyle{ a_{i2}}\). Wstawmy sobie do pierwszych \(\displaystyle{ a_{11}=1, a_{12}=0}\), a do drugich \(\displaystyle{ a_{21}=0, a_{22}=1}\), żeby na pewno pierwsze (to szukane) równanie nie było zależne z drugim. Po wstawieniu wyjdą nam dwa układy trzech równań z trzema niewiadomymi, które już powinny się dać jednoznacznie rozwiązać (trzeba mieć pecha, żeby się nie dały, ale jeśli tak jest, to trzeba spróbować albo inne liczby, albo gdzie indziej podstawić). I w ten sposób dostajemy macierz wszystkie dziesięć współczynników naszego szukanego układu.