Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wazka260196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 5 paź 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 14 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: wazka260196 »

Witam
Treść zadania jak w temacie - mam wskazać bazę i określić wymiary przestrzeni
\(\displaystyle{ V = \left\{ p \in \mathbb{R}_{4}[x] : p(2x) = 4xp'(x)+p(0)\right\}}\)

Doszedłem do czegoś takiego (pomijam kroki pośrednie):

Niech p będzie postaci:
\(\displaystyle{ a_{4}x ^{4} +a_{3}x ^{3} +a_{3}x ^{2} +a_{2}x ^{2} +a_{1}x + a_{0}}\)
Zatem z warunku w zbiorze wynika iż:
\(\displaystyle{ a_{1}x = -2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\)
a wielomiany tworzące przestrzeń mają postać (po pogrupowaniu wyrazów):
\(\displaystyle{ a_{4}x ^{4} - a_{3}x ^{3} - a_{2}x ^{2} + a_{0}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \Lin V = \left\{x ^{4},-x ^{3},-x ^{2},1 \right\}}\)
Sprawdziłem czy te elementy są liniowo zależne i wyszło że nie. Zatem wnioskuję, że wymiar przestrzeni jest równy 4. Niestety w odpowiedzi podano że \(\displaystyle{ \dim V = 2}\) a baza to \(\displaystyle{ \left\{ x ^{4}, 1\right\}}\). Gdzie popełniłem błąd?
Ostatnio zmieniony 30 mar 2016, o 22:12 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: \dim \Lim
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ a_{1}x = -2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\)
To jest OK.
a wielomiany tworzące przestrzeń mają postać (po pogrupowaniu wyrazów):
\(\displaystyle{ a_{4}x ^{4} - a_{3}x ^{3} - a_{2}x ^{2} + a_{0}}\)
Nie. W ogóle nie wiem, skądeś to wytrzasnął. \(\displaystyle{ a_{1}x = -2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\) oznacza, że \(\displaystyle{ f(x)=a_{1}x+2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\) jest tożsamościowo równa zeru. Stąd wyciągnij wniosek, że \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=a_{3}=0}\).
wazka260196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 5 paź 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 14 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: wazka260196 »

W zbiorze Skoczylasa po takim przekształceniu warunku odpowiednie współczynniki były podstawiane do "wyjściowego" wielomianu, czyli w moim przypadku - postaci ogólnej która jest na samym początku . Z tego obliczano generatory i sprawdzano następnie czy elementy generatora są liniowo niezależne. Nie rozumiem konkretnie o co Ci chodzi.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Kacperdev »

Zeby wielomian należał do przestrzeni musi spełniać warunek:

\(\displaystyle{ 2a_3x^3+2a_2x^2+a_1x=0}\)
Czyli lewy wielomian musi być równy zerowemy wielomianowi.

Zatem: \(\displaystyle{ 2a_3=2a_2=a_1=0}\)

Możesz też dla ułatwienie przetłumaczyć sobie wielomiany na wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^5}\).

\(\displaystyle{ \left( 0,0,0,0,0\right) = \left( 0,2a_3,2a_2,a_1,0\right)}\)
wazka260196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 5 paź 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 14 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: wazka260196 »

Dlaczego zatem rozpisanie tego warunku w ten sposób w jaki to zrobiłem i podstawienie go do wielomianu wyjściowego daje tak odmienne wyniki. Wydaje mi się, że to co napisałem jest równoważne. Proszę mnie wyprowadzić z błędu
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Kacperdev »

Nie jest równoważne, bo z warunku jasno wynika, że \(\displaystyle{ a_3=a_2=a_1=0}\), zatem wszystkie wielomiany z tej przestrzeni przy wyrazach o stopniach \(\displaystyle{ 3,2,1}\) mają zera.

Twoja baza zaś generuje całe \(\displaystyle{ \RR_4 \left[ x\right]}\)
wazka260196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 5 paź 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 14 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: wazka260196 »

Dziękuję Wam bardzo za szybką i konkretną pomoc. Proszę jeszcze o niezamykanie wątku bo mam jeszcze jeden przykład do ogarnięcia, więc żeby nie zaśmiecać forum kolejnymi tematami.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Premislav »

Z tego co widzę, to podstawiłeś do postaci wielomianu:
\(\displaystyle{ a_{4}x ^{4} +a_{3}x ^{3} +a_{3}x ^{2} +a_{2}x ^{2} +a_{1}x + a_{0}}\)
zależność \(\displaystyle{ a_{1}x = -2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\)
i dalej o tejże zależności "zapominasz". Ale w ten sposób nie w pełni wykorzystujesz informacje płynące z tej równości. Wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+1}\) ma taką postać, jaką proponujesz, ale nie spełnia warunku z pochodną (nie dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\)).

@Kacperdev: a jak wygenerujesz z tej bazy otrzymanej przez uż. wazka260196 \(\displaystyle{ W(x)=x}\)?
Sorry za czepialstwo.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Kacperdev »

Premislav, no tak... te stopnie wielomianów mienią się w oczach .
Premislav pisze:Z tego co widzę, to podstawiłeś do postaci wielomianu:
\(\displaystyle{ a_{4}x ^{4} +a_{3}x ^{3} +a_{3}x ^{2} +a_{2}x ^{2} +a_{1}x + a_{0}}\)
zależność \(\displaystyle{ a_{1}x = -2(a_{3}x ^{3} +a_{2}x ^{2} )}\)
i dalej o tejże zależności "zapominasz". Ale w ten sposób nie w pełni wykorzystujesz informacje płynące z tej równości.
Ale to jest w ogóle bezsensu. Mylone są dwa obiekty matematyczne (el. ciała i wektory). Wystarczy popatrzeć na izomorficzną przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{5}}\)

Wynika z tego, że: \(\displaystyle{ \left( 0,0,0,a_1,0\right) = \left( 0,-2a_3,-2a_2,0,0\right)}\)
Wektorami w końcu naszej przestrzeni są wielomiany. Nie jest to warunek na wspólczynniki tych wielomianów, lecz same wielomiany. Więc nie można tu nic podstawiać - no bo jak podstawić "wektory do wektorów"
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Premislav »

Jak na mój gust nie ma takiej możliwości. Przypuszczam, że w książce p. Skoczylasa (nigdy nie używałem) były przykłady, w których otrzymywano zależności w stylu takiego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{1} a_{1}+\beta_{1} a_{2}+\gamma_{1}a_{3}+\theta_{1}a_{4}=b_{1} \\\alpha_{2} a_{1}+\beta_{2} a_{2}+\gamma_{2}a_{3}+\theta_{2}a_{4}=b_{2} \\ \alpha_{3} a_{1}+\beta_{3} a_{2}+\gamma_{3}a_{3}+\theta_{3}a_{4}=b_{3}\\\alpha_{4} a_{1}+\beta_{4} a_{2}+\gamma_{4}a_{3}+\theta_{4}a_{4}=b_{4} \end{cases}}\)
- gdzie alfy, bety, gammy i thety oraz \(\displaystyle{ b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}\) to jakieś dane liczby (oczywiście niektóre z nich mogą być zerami) - tj. układ równań liniowych na współczynniki \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}, a_{3},a_{4}}\) (czasem można go rozwiązać z użyciem rachunku macierzowego, a zawsze po prostu metodą eliminacji Gaussa lub szkolnym podstawianiem/metodą przeciwnych współczynników). Ale tutaj nie mamy układu równań liniowych wiążącego współczynniki, więc i nie można tak podstawić. Sorry za post duży objętościowo, a ubogi merytorycznie, ale nie wiem, jak mógłbym to zwięźlej zapisać.
wazka260196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 5 paź 2014, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 14 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: wazka260196 »

Czyli jeżeli miałbym taki zbiór
\(\displaystyle{ V = \left\{ p \in \mathbb{R}_{3}[x] : p(1) + p(2) = p(3)+p'(0)\right\}}\)
to kolokwialnie mówiąc: widząc że w moim warunku nie ma żadnego x (i takiego x nie byłoby również po przekształceniach) mógłbym dokonać takiego podstawienia przy współczynnikach? (wnioskując z wypowiedzi uż. Kacperdev działałbym na elementach ciała nad którym jest wektor, tak?)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Premislav »

Jeśli dobrze odczytuję Twoje intencje, to tak.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Wskazać bazy i określić wymiary przestrzeni

Post autor: Kacperdev »

Zgadza sie. Tu już operujesz na elementach ciała nad która jest dana przestrzeń (same współczynniki)
ODPOWIEDZ