Przekształcenia liniowe/endomorfizmy

[michcior]

Cześć, mógłby mi ktoś podpowiedzieć, ew. pokazać cały dowód,dlaczego
jeśli mamy macierz \(\displaystyle{ A \in M _{nxn}(C)}\), i \(\displaystyle{ A ^{k}=A}\) dla pewnego k>1, to jedynymi możliwymi
wartościami własnymi mogą być 0,1 lub -1? Z góry dziękuję

[leg14]

Przemnoz z obu stron rownosc \(\displaystyle{ A^{k}=A}\) przez hipotetyczny wektor wlasny \(\displaystyle{ \lambda}\) z wartoscia wlasna c i po obu stronach skorzystaj z deifnicji wartosci wlasnej.

[michcior]

Dzięki, obczaiłem już to ale nie chcę mi się tu wpisywać tego. Mam jeszcze pytanie bo nie wiem czy dobrze myślę,czy z tej równości wynika, że r(A)=n, bo gdyby nie, to \(\displaystyle{ A ^{k}}\) mogłoby wyjść
macierz zerowa? (w sensie tylko złożenie izomorfizmów jest izomorfizmem (?)).

[leg14]

Z twierdzenia Cauchy'ego wiesz, ze \(\displaystyle{ det(A \cdot B )= det(A) \cdot det(B)}\).Ale nie wynika z tego,ze rzad A jest maksymalny.Przyklad:
\(\displaystyle{ A = [1,0,1,0]}\) (w sensie druga polowa wektora jest 2 wierszem macierzy 2x2).

[michcior]

Ta macierz jest zasmuceniem dla mnie, bo wiem że nie jest diagonalizowalna, a miałem wykazać że macierze które spełniają ten warunek są. Mam nadzieję, że się mylę, bo trochę szkoda. W każdym razie mi wychodzi \(\displaystyle{ V _{(0)}}\)=lin(0,0)=\(\displaystyle{ V _{(1)}}\) więc tu nie ma żadnej diagonalizowalności. Chyba że coś źle liczę, może już za późno :/