Chciałbym, aby ktoś spojrzał na moje rozwiązanie do poniższego zadania:
Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi równanie: \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}i - 1 \right) ^{n} = \left( \sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3}i - 1 \right) ^{n} = \left( \sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \sqrt{3}i - 1 \right) ^{n}}{ \left( \sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \left( \sqrt{3}i - 1 \right) ^{n}}{ \left( \sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}} \cdot \frac{ \left( -\sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}}{ \left( -\sqrt{3}i + 1 \right) ^{n}} = 1}\)
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{-1+ \sqrt{3}i + \sqrt{3}i +3 }{4}\right\} ^{n} = 1}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{n} = 1}\)
\(\displaystyle{ |z| = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{3}}\)
Z Moivre'a:
\(\displaystyle{ \cos \left( n \cdot \frac{\pi}{3} \right) + i\sin \left( n \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 1}\)
Przyrównuje rzeczywiste i urojone:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \left( n \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 1 \\ i\sin \left( n \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 0\end{cases}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ n \cdot \frac{\pi}{3} = 2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN \cup \left\{ 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ n = 6k}\)
Nie robiłem żadnego podobnego zadania, więc nie wiem, czy to jest dobrze. Będę wdzięczny za każdą odpowiedź
