Znaleźć c i r dla których

marcel0906 · Post autor: **marcel0906** » 11 mar 2016, o 16:12

Niech \(\displaystyle{ a \in \RR ^{k} , b \in \RR ^{k}}\). Znaleźć \(\displaystyle{ c \in \RR ^{k}}\) i \(\displaystyle{ r>0}\) tak, aby \(\displaystyle{ \left| x-a\right|= 2\left|x-b \right|}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left| x-c\right|=r}\)
Rozwiązanie: \(\displaystyle{ 3c=4b-a, 3r=2\left| b-a\right|}\)

liu · Post autor: **liu** » 21 mar 2016, o 15:05

To jest zadanie z Rudina;)

Można zrobić metodą czysto siłową - rozpisz to wyrażenie \(\displaystyle{ | x - a| = 2| x-b|}\) po podniesieniu do kwadratu korzystając z definicji normy euklidesowej, zwiń do postaci równania sfery korzystając z wzorów skróconego mnożenia i dostaniesz to, co jest w odpowiedzi. Można ewentualnie narysować jakiś obrazek dla \(\displaystyle{ k=2}\), zgadnąć i sprawdzić, że dziala w ogólnym przypadku.

marcel0906 · Post autor: **marcel0906** » 23 mar 2016, o 08:24

Witam!
Czy mógłbyś rozpisać to wyrażenie? Prawdę mówiąc nie do końca rozumiem twoją metodę.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 23 mar 2016, o 13:29

Ale liu wszystko już napisał.
\(\displaystyle{ \left| x-a\right|= 2\left|x-b \right|\ \ \ |^2}\)

\(\displaystyle{ x^2-3ax+a^2=4x^2-8xb+4b^2\\
x^2+2x \frac{a-4b}{3}+ \frac{4b^2-a^2}{3}=0\\
(x+\frac{a-4b}{3})^2=\frac{4b^2-8ab+4a^2}{9} \ \ | \sqrt{} \\
\left| x+\frac{a-4b}{3}\right|=\frac{2\left| b-a\right| }{3}}\)

Stąd rozwiązanie: \(\displaystyle{ 3c=4b-a, 3r=2\left| b-a\right|}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 23 mar 2016, o 14:42

Pomijając taki drobny Fakt, że \(\displaystyle{ x,a,b\in\RR^k}\)

liu · Post autor: **liu** » 29 mar 2016, o 00:33

No to jak już znaleźliśmy, to wstawimy pisząc jakieś tam sumy kwadratów i się okaże, że dla dostatecznie dużego \(\displaystyle{ k}\) też działa;)
Tam po drodze w tych rachunkach są wątpliwe fakty typu \(\displaystyle{ |x-a|^2 = x^2 -3ax + a^2}\), ale suma summarum wychodzi jak trzeba.