Podaj zwartą postać macierzy.

[Grim Girl]

Mam takie zadanie i kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać. Bardzo proszę o wytłumaczenie tego zadania.

Treść:
Podaj zwartą postać macierzy (nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\alpha&1\\1&\alpha\end{array}\right]^{n}}\)

[Premislav]

Żeby to się ładnie potęgowało, to trzeba by przedstawić tę macierz w postaci diagonalnej lub w postaci Jordana. Wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\alpha&1\\1&\alpha\end{array}\right]}\) to \(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{cc}\alpha-x&1\\1&\alpha-x\end{array}\right]=(\alpha-x+1)(\alpha-x-1)}\), czyli jej wartościami własnymi są
\(\displaystyle{ \alpha-1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha+1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ \alpha \neq 1 \wedge \alpha \neq -1}\), to możesz zdiagonalizować tę macierz: szukasz wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym \(\displaystyle{ \alpha-1}\) i \(\displaystyle{ \alpha+1}\), a następnie przedstawiasz macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\alpha&1\\1&\alpha\end{array}\right]}\) w postaci \(\displaystyle{ PDP^{-1}}\), gdzie D jest macierzą diagonalną, mającą wartości własne na przekątnej, a \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą \(\displaystyle{ 2\times 2,}\) której kolumnami są wektory własne.
Potem łatwo pokazać (np. indukcyjnie), że \(\displaystyle{ (PDP^{-1})^{n}=PD^{n}P^{-1}}\), korzystając z łączności mnożenia macierzy i dalej już wiadomo.
Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ \alpha=0}\), to masz macierz identyczności, więc nic nie trzeba robić, natomiast dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\) oraz dla \(\displaystyle{ \alpha=-1}\) można znaleźć postać Jordana.

[a4karo]

Oczywiście jeśli \(\displaystyle{ \alpha=0}\), to masz macierz identyczności, więc nic nie trzeba robić,

Prawie...

natomiast dla \(\displaystyle{ \alpha=1}\) oraz dla \(\displaystyle{ \alpha=-1}\) można znaleźć postać Jordana.

Wystarczy przejść do granicy...

[Premislav]

Prawie...

Jak to prawie? Nie rozumiem. Złożenie identyczności jest identycznością, więc i odpowiadający mu iloczyn macierzy musi być macierzą identyczności. To jest oczywiste.

[a4karo]

dla \(\displaystyle{ \alpha=0}\) masz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\), a to nie identyczność

[Premislav]

O rany, ja to nie mam oczu (a pewnie tez jeszcze czegoś). Przepraszam autorkę wątku.
Wystarczy chyba mojej pisaniny na tym forum, bo mniej więcej co trzeci post to niezła bzdura.
Dla porządku: przekształcenie zadane taką macierzą zamienia osie współrzędnych, zatem
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right]^{n}= \begin{cases} \left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right] \text{ gdy } 2\nmid n \\ \\ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \text{ gdy }2|n\end{cases}}\)