\(\displaystyle{ d( (x_1 , x_2) , (y_1 , y_2) ):=\begin{cases} max[ |x_1 - y_1| , |x_2 - y_2|]\hbox { dla } x^2_1 + x^2_2 = y^2_1 + y^2_2]\\1 + max[ |x_1 - y_1| , |x_2 - y_2|]\hbox { dla } x^2_1 + x^2_2 y^2_1 + y^2_2 \end{cases}}\)
sprawdzić czy funkcja jest metryką, proszę o pomoc:D
Metryka
-
JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Metryka
Aby d było metryką musi zachodzić koniunkcja warunków:
1.\(\displaystyle{ d(X.X)=0}\)
2.\(\displaystyle{ d(X.Y)=d(Y,X)}\)
3.\(\displaystyle{ d(X.Y)+d(Y,Z)\geq d(X,Z)}\)
W danym problemie dwa pierwsze zachodzą, a trzeci... wymaga trochę rachunków.
Pozdrawiam
1.\(\displaystyle{ d(X.X)=0}\)
2.\(\displaystyle{ d(X.Y)=d(Y,X)}\)
3.\(\displaystyle{ d(X.Y)+d(Y,Z)\geq d(X,Z)}\)
W danym problemie dwa pierwsze zachodzą, a trzeci... wymaga trochę rachunków.
Pozdrawiam
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Metryka
Tam w pierwszym warunku należałoby jeszcze dodać, że:
\(\displaystyle{ d(X, Y) = 0 X = Y}\)
Nietrudno zauważyć, że trzeci warunek również zachodzi:
Z nierówności trójkąta dla modułów oraz z określenia elementu maksymalnego mamy:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
więc również:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 1 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q 1 + \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
i tym bardziej:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 2 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q 1 + \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 2 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|]\geq \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
co wyczerpuje wszystkie przypadki.
\(\displaystyle{ d(X, Y) = 0 X = Y}\)
Nietrudno zauważyć, że trzeci warunek również zachodzi:
Z nierówności trójkąta dla modułów oraz z określenia elementu maksymalnego mamy:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
więc również:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 1 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q 1 + \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
i tym bardziej:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 2 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|] q 1 + \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \max[|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|] + 2 + \max[|y_{1} - z_{1}|, |y_{2} - z_{2}|]\geq \max[|x_{1} - z_{1}|, |x_{2} - z_{2}|]}\)
co wyczerpuje wszystkie przypadki.