Odwzorowania liniowe

[Trebleski]

Witam, chciałbym was prosić o pomoc, ponieważ utknąłem i nie wiem jak dalej ruszyć z zadaniami.

W zadaniu mam podane przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F : M(2\times 2) \rightarrow M(2\times 2)}\) gdzie \(\displaystyle{ F \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a&0\\0&d\end{array}\right]}\), i z podanych trzech macierzy wybrać element jądra i obrazu:

a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&3\end{array}\right]}\) b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&4\\2&0\end{array}\right]}\) c) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&0\\0&-3\end{array}\right]}\)

Wygląda, że elementem obrazu jest macierz c), ale chciałbym to dokładnie zrozumieć.

Pozdrawiam.

[NogaWeza]

Jak rzeczywiście chcesz to dokładnie zrozumieć, to nie znam lepszej metody niż czytanie teorii, a dopiero potem przejście do zadań. Tutaj zgadza się, elementem obrazu jest macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&0\\0&-3\end{array}\right]}\), ale pytanie czy wiesz skąd to się bierze, czy tylko strzelałeś/przeczytałeś odpowiedź.

[Trebleski]

Dzięki bardzo za odpowiedź. A czy mógłbyś proszę wskazać, która z macierzy jest elementem jądra i pokrótce napisać dlaczego?

Do tych samych matryc mam jeszcze takie odwzorowanie: \(\displaystyle{ F \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = a + d}\) I widzę to tak, że elementem jądra dla obu byłaby macierz b). Ale już z pytaniem która z liczb jest w obrazie \(\displaystyle{ 0, -2,}\) czy \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) mam większy problem.

[Kacperdev]

Zależy nad jakim ciałem są macierze.

[Trebleski]

Nad ciałem liczb rzeczywistych. Prosiłbym o pomoc z jeszcze jednym odwzorowaniem:
\(\displaystyle{ F: P_2 \rightarrow R^2}\)

\(\displaystyle{ F(a+bt+ct^2) = \left[\begin{array}{c}a-b\\b+c\end{array}\right]}\)
I pytanie, który z elementów należy do jądra:

\(\displaystyle{ a) 1+t, \ b) t-t^2, \ c) 1+t-t^2}\)

A który do obrazu:

\(\displaystyle{ a) \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right], b) \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right], c) \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]}\)

Z góry dziękuję za każdą wskazówkę.

[Medea 2]

Aby sprawdzić, który z tych wektorów należy do jądra, po prostu nałóż przekształcenie: z definicji jest przecież

\(\displaystyle{ \ker f = \{v \in V : f(v) = 0\}}\).

[Trebleski]

Ok, więc to było proste, tylko źle patrzyłem. Jądrem będzie c), a obrazem a).
A czy bylibyście w stanie doradzić mi coś z następującym zadaniem?

Przekształcenie \(\displaystyle{ F : R^2 \rightarrow R^2}\) jest przedstawione jako \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}2&-1\\3&4\end{array}\right]}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ F(u)}\) i \(\displaystyle{ F(v)}\) dla

\(\displaystyle{ u = \left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right], \ v= \left[\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\right]}\)

Wiem, że do tego przydałyby się bazy, których nie ma podanych, więc powinienem użyć kanonicznych?

[NogaWeza]

Macierz przekształcenia liniowego, które działa z przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ Y}\) zależy od wyboru baz w obu tych przestrzeniach, także powinny być one podane. Jeśli nie ma o nich żadnej informacji, to możemy się tylko domyślać "co autor miał na myśli". Oczywiście możesz rozważyć ten problem w bazach kanonicznych i jest to chyba jedyne sensowne wyjście z tej sytuacji.

[AiDi]

Ale po co Ci konkretna postać bazy? Masz konkretną macierz odwzorowania, wektory też konkretne (w tej samej bazie co macierz), to wystarczy.