Łańcuch podprzestrzeni przestrzeni skończenie wymiarowej

[AnnaGlo]

Mimo prób, mam problem z następującym zadaniem
Niech \(\displaystyle{ V}\) - przestrzeń \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa. Zbiór \(\displaystyle{ \{L_v\}}\) podprzestrzeni przestrzeni nazywamy łańcuchem, gdy spełnione jest \(\displaystyle{ L_{v1}\subset L_{v2}}\) lub \(\displaystyle{ L_{v2}\subset L_{v1}}\) dla każdej pary podprzestrzeni. Wykaż, że
1. Każdy łańcuch jest skończony.
2. Łańcuch \(\displaystyle{ L_{0}\subset L_{1}\subset\dots\subset L_{m}}\)jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m=n}\) oraz dim \(\displaystyle{ L_k=k}\), \(\displaystyle{ k=1,2,\dots,n}\).
3. Jeżeli \(\displaystyle{ \{L_k\}_1^n}\) jest łańcuchem maksymalnym, wtedy istnieje baza \(\displaystyle{ \{e_k\}_1^n}\) taka, że \(\displaystyle{ \{e_k\}_1^m}\) jest bazą dla podprzestrzeni \(\displaystyle{ L_m}\) \(\displaystyle{ m=0,1,\dots,n}\).

[bakala12]

Udowodnij najpierw punkt drugi. W tym celu pokaż najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ L_{v_{1}} \subset L_{v_{2}}}\) i \(\displaystyle{ L_{v_{1}} \neq L_{v_{2}}}\) to \(\displaystyle{ dim L_{v_{1}} < dim L_{v_{2}}}\).
Zauważ, że z punktu drugiego natychmiast wynika punkt pierwszy, a punkt trzeci jest bardzo nietrudno uzasadnić (np. indukcyjnie dopełniając do bazy).

[norwimaj]

Ja bym zaczął od pierwszego. Łatwo jest znaleźć injekcję z łańcucha w zbiór \(\displaystyle{ \{0,1,\ldots,n\}.}\) Po prostu \(\displaystyle{ f(L)=\dim(L).}\)

[AnnaGlo]

Zatem do 1, nie wiem czy dobrze rozumiem. Zamiast pracować na samych podprzestrzeniach dzięki iniekcji (a to nie powinna być bijekcja, żeby wskazywała na równoliczność zbiorów?) \(\displaystyle{ f}\) przechodzimy do pracy na skończonym zbiorze \(\displaystyle{ 1,2,\dots,n}\), skąd wprost wnioskujemy, że łańcuch musi być skończony - ma max \(\displaystyle{ n+1}\) elementów.

[norwimaj]

a to nie powinna być bijekcja, żeby wskazywała na równoliczność zbiorów?

Bijekcja dowodziłaby, że łańcuch ma dokładnie \(\displaystyle{ n+1}\) elementów. Injekcja pokazuje, że elementów jest co najwyżej \(\displaystyle{ n+1.}\)

[AnnaGlo]

Rzeczywiście, dziękuję.
W zadaniu 2,
\(\displaystyle{ (\Rightarrow)}\) Na podstawie zadania 1. wiemy, że maksymalny łańcuch ma \(\displaystyle{ n+1}\) elementów, stąd widać, że \(\displaystyle{ m=n}\). Z tego, że \(\displaystyle{ L_k\subset L_j}\) wynika, że dim \(\displaystyle{ L_k<}\) dim \(\displaystyle{ L_j}\), a to implikuje, że dim \(\displaystyle{ L_k=k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,\dots,n}\)
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) oczywiste.
Czy tak ma to wyglądać?
Z zadaniem 3 też już sobie poradziłam.
Nurtuje mnie jeszcze jedno: jak pokazać, że każdy łańcuch musi być zawarty w łańcuchu maksymalnym?

[norwimaj]

Na podstawie zadania 1. wiemy, że maksymalny łańcuch ma \(\displaystyle{ n+1}\) elementów,

To zły początek. Wiemy, że każdy łańcuch ma co najwyżej \(\displaystyle{ n+1}\) elementów, ale a priori nie wiemy, czy jest jeden, czy wiele łańcuchów maksymalnych, i ile dokładnie elementów mają łańcuchy maksymalne.

[AnnaGlo]

hmmm.. to teraz już nie mam pomysłu.

[norwimaj]

W zadaniu 2. implikację \(\displaystyle{ (\Rightarrow)}\) robiłbym nie wprost. Dla łańcucha o liczbie elementów różnej od \(\displaystyle{ n+1}\) użyj funkcji z zadania 1. Wtedy ta funkcja nie jest "na", czyli istnieje takie \(\displaystyle{ k\le n,}\) żaden element łańcucha nie jest wymiaru \(\displaystyle{ k}\). Spróbuj pokazać, że do łańcucha można dorzucić jeszcze jeden element (wymiaru \(\displaystyle{ k}\)) tak, że nadal będzie to łańcuch.

[AnnaGlo]

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) Załóżmy, że łańcuch \(\displaystyle{ L_0\subset L_1\subset \dots\subset L_m}\) jest maksymalny, ale \(\displaystyle{ m\neq n}\). Wynika stąd, że funkcja z poprzedniego zadania \(\displaystyle{ f(L_v)=}\) dim \(\displaystyle{ L_v}\) o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,\dots,n\}}\) nie jest suriektywna, stąd istnieje \(\displaystyle{ k\leq n}\) takie, że żaden element łańcucha nie jest wymiaru \(\displaystyle{ k}\). Wybierzmy \(\displaystyle{ k}\) tak, aby było najmniejszą liczbą spełniającą poprzedni warunek. Niech \(\displaystyle{ L_i}\) będzie podprzestrzenią o wymiarze \(\displaystyle{ k-1}\), należącą do łańcucha zaś \(\displaystyle{ \{e_1,\dots\ e_{k-1}\}}\) będą jej bazą. Na mocy twierdzenia o uzupełnianiu do bazy możemy je rozszerzyć do zbioru \(\displaystyle{ \{e_1,\dots\ e_{k-1},e_k\}}\), który będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ U_k}\) o wymiarze \(\displaystyle{ k}\), uważając na to, by do bazy \(\displaystyle{ \{e_1,\dots\ e_{k-1}\}}\) dołączyć jeden z tych wektorów \(\displaystyle{ \{e_1,\dots,e_j\}}\), które tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ L_j}\), która w wyjściowym łańcuchu następuje po przestrzeni \(\displaystyle{ L_i}\). Zauważmy, że skonstruowana w ten sposób przestrzeń \(\displaystyle{ U_k}\) może zostać włączona do wyjściowego łańcucha, bowiem mamy \(\displaystyle{ L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_i\subset U_k\subset L_j \dots\subset L_m}\), więc zauważamy że łańcuch od którego zaczynaliśmy rozważania maksymalny nie był. Zatem musi być \(\displaystyle{ m=n}\). Z inkluzji \(\displaystyle{ L_i\subset L_j}\) wiemy, że dim\(\displaystyle{ L_i<}\)dim \(\displaystyle{ L_j}\). Mamy \(\displaystyle{ n+1}\) elementów łańcucha i tyle samo możliwych wymiarów, skąd wynika, że \(\displaystyle{ dim L_k=k}\).
Czy tak jest w porządku?


Czyli teraz stosując analogiczną strategię można pokazać, że dowolny łańcuch zawiera się w jakimś maksymalnym? Bo możemy wrzucać do tego łańcucha elementy aż do czasu, kiedy \(\displaystyle{ k}\) spełniające warunek opisany wcześniej nie będzie istniało, tak?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ L_i}\) będzie podprzestrzenią o wymiarze \(\displaystyle{ k-1}\),

A jeśli \(\displaystyle{ k=0}\)? Można wcześniej zauważyć, że \(\displaystyle{ \{0\}}\) i \(\displaystyle{ V}\) należą do łańcucha maksymalnego. W ten sposób unikniemy takich problemów.

które tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ L_j}\), która w wyjściowym łańcuchu następuje po przestrzeni \(\displaystyle{ L_i}\).

Tu bym dodał, że następuje bezpośrednio po przestrzeni \(\displaystyle{ L_i.}\) Można też zamiast wprowadzać nową literę \(\displaystyle{ j,}\) używać \(\displaystyle{ i+1.}\)

Czyli teraz stosując analogiczną strategię można pokazać, że dowolny łańcuch zawiera się w jakimś maksymalnym? Bo możemy wrzucać do tego łańcucha elementy aż do czasu, kiedy \(\displaystyle{ k}\) spełniające warunek opisany wcześniej nie będzie istniało, tak?

Tak, w każdym kroku liczba elementów łańcucha rośnie o \(\displaystyle{ 1,}\) więc w końcu zostanie osiągnięta nieprzekraczalna liczba \(\displaystyle{ n+1}\) elementów.

[AnnaGlo]

norwimaj, dzięki wielkie za pomoc. W związku z łańcuchami podprzestrzeni trafiłam na jeszcze 2 problemy: Dowolny zbiór podprzestrzeni przestrzeni skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ E}\) zawiera skończony podzbiór podprzestrzeni o tym samym przecięciu. Problem dualny: Dowolny zbiór podprzestrzeni przestrzeni skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ E}\) zawiera skończony podzbiór podprzestrzeni o tej samej sumie. Wskazówka zawarta w zbiorze jest taka, żeby użyć faktu skończoności łańcucha. Jednakże nie wiem jak połączyć te fakty.

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie skończonym zbiorem podprzestrzeni przestrzeni skończeniewymiarowej \(\displaystyle{ E}\). Skończony podzbiór zbioru \(\displaystyle{ X}\) o tym samym przecięciu można znaleźć algorytmem:

• \(\displaystyle{ \mathcal{L}:=\emptyset}\)
• While \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{L}\ne\bigcap X}\):
  • \(\displaystyle{ v:=}\) dowolny element zbioru \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{L}\setminus\bigcap X}\)
  • \(\displaystyle{ V:=}\) dowolna podprzestrzeń należąca do \(\displaystyle{ X}\), taka że \(\displaystyle{ v\not\in V}\)
  • \(\displaystyle{ \mathcal{L}:=\mathcal{L}\cup \{V\}}\)
• Return \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\)

[AnnaGlo]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie skończonym zbiorem podprzestrzeni przestrzeni skończeniewymiarowej \(\displaystyle{ E}\).

tylko my nie mamy a priori skończoności zbioru \(\displaystyle{ X}\). Więc wtedy algorytm nam padnie.Chyba.

[norwimaj]

Pomyliło mi się. \(\displaystyle{ X}\) nie musi być skończony, ale algorytm działa dobrze, tylko trzeba to udowodnić. W każdym obrocie pętli zbiór \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{L}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ E}\) (przyjmując, że \(\displaystyle{ \bigcap \emptyset = E}\)). W kolejnych obrotach pętli wymiar tej przestrzeni maleje co najmniej o \(\displaystyle{ 1}\).