Otoczka liniowa

[alek22999]

Pokaż, wprost z definicji, ze jeśli \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem liniowo zależnym, to istnieje w nim wektor \(\displaystyle{ \ \vec u \in U}\) taki, że

\(\displaystyle{ LIN(U) = LIN(U \setminus {\vec u})}\)

Próbowałem to rozpisać z definicji że po lewej mamy sumę wektorów pomnożonych przez jakiś skalar aż do \(\displaystyle{ \vec u _{k} * \alpha _{k}}\) a po prawej ten sam zbiór tylko odjęty od niego pewien wektor \(\displaystyle{ \vec u _ {k}}\) więc wniosek z tego taki że istnieje taki \(\displaystyle{ \alpha}\) dla którego te dwa zbiory są równe? ( \(\displaystyle{ 2 * \alpha _{k}}\) ?)

[Premislav]

To może tak: definicja liniowej zależności mówi tyle, że istnieją takie wektory \(\displaystyle{ u_{1},...u_{n} \in U}\), iż dla pewnych \(\displaystyle{ a_{1},...a_{n} \in K}\) (ciało skalarów), spośród których nie wszystkie są zerowe, zachodzi \(\displaystyle{ a_{1}u_{1}+...+a_{n}u_{n}=\vec{0}}\). Weźmy takie \(\displaystyle{ u_{1},...u_{n}}\) oraz odpowiednie skalary i zmieńmy ich numerację tak, aby \(\displaystyle{ a_{1}\neq 0}\).
Wtedy mamy \(\displaystyle{ u_{1}=\vec{0}- \frac{a_{2}}{a_{1}}u_{2}-...- \frac{a_{n}}{a_{1}}u_{n}}\). A zatem \(\displaystyle{ u_{1} \in \Lin(U\setminus\left\{ u_{1}\right\} )}\), czyli \(\displaystyle{ \Lin(U \setminus \left\{ u_{1}\right\})=}\)...

[kildo]

Nie trzeba dowodzić w drugą stronę? Bo pokazaliśmy że

\(\displaystyle{ LIN(U) \subseteq LIN(U \setminus {\vec u})}\)

[Premislav]

To prawda, że pokazaliśmy tylko \(\displaystyle{ \Lin(U) \subseteq \Lin(U \setminus {\vec u})}\), ale zawieranie w tę stronę nam wystarczy, bo zawieranie w drugą stronę jest oczywiste.

-- 29 lut 2016, o 20:38 --

Chyba że dla Ciebie nie jest lub uważasz to za istotną lukę - w takim wypadku coś jeszcze dopiszę.

[kildo]

właśnie się zastanawiałem nad tym i nie widzę tego rozwiązania
bo wiedząc że
\(\displaystyle{ u_{1} \in \Lin(U\setminus\left\{ u_{1}\right\} )}\)
i jak to doprowadzić do \(\displaystyle{ u_{1} \in \Lin(U )}\)

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ v \in \Lin(U\setminus \left\{ \vec{u}\right\})}\). Wobec tego \(\displaystyle{ v= \sum_{i \in I}^{} \alpha_{i}u_{i}}\) dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) oraz wektorów \(\displaystyle{ u_{i} \in U\setminus\left\{ \vec{u}\right\}}\). Oczywiście
\(\displaystyle{ U\setminus \left\{ \vec{u}\right\}\subset U}\), toteż wszystkie \(\displaystyle{ u_{i}}\) należą do \(\displaystyle{ U}\). A więc z definicji otoczki liniowej mamy \(\displaystyle{ v \in \Lin(U)}\).

[Kuba189]

Nie rozumiem idei dowodu \(\displaystyle{ u_{1} = \vec{0}-\frac{a_{2}}{a_{1}}u_{2}-...}\). Dlaczego z tego wynika że \(\displaystyle{ u_{1}}\) należy do Lin?

[lemoid]

tzn. że wektor \(\displaystyle{ u_{1}}\) można przedstawić jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ u_{2},...u_{k}}\). Definicja.