Macierz i baza Jordana

splinter · Post autor: **splinter** » 20 lut 2016, o 21:21

Muszę wyznaczyć macierz Jordana i bazę Jordana dla macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\-1&2&0&0\\-1&0&3&0\\-1&0&1&2\end{array}\right]}\)

wiedząc, że \(\displaystyle{ p(x) = (2-x)^{4}}\)
Wiem, jak wyznaczyć macierz, ale jak wyznaczyć bazę?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 20 lut 2016, o 21:30

Baza Jordana to baza złożona z wektorów własnych i wektorów głównych.

splinter · Post autor: **splinter** » 20 lut 2016, o 21:38

Jak wyznacza się wektory główne?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 20 lut 2016, o 21:46

Przez pewną rekurencję. Jeśli \(\displaystyle{ v^{(k-1)}}\) jest wektorem głównym rzędu \(\displaystyle{ k-1}\) odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ x}\), to wektor główny rzędu \(\displaystyle{ k}\) wyznaczamy ze wzoru: \(\displaystyle{ \left[ A - xI \right] v^{(k)} = v^{(k-1)}}\).

splinter · Post autor: **splinter** » 20 lut 2016, o 22:01

Wyznaczyłem wektory własne z bazy \(\displaystyle{ ker (A - 2* I_{n} )}\)
Macierz \(\displaystyle{ (A-2* I_{n} )}\) wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\end{array}\right]}\)

Bazą jądra są wektory:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\0\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right]}\)

Kiedy podstawiam je próbując wyliczyć wektory główne wychodzi sprzeczność. Czy to ja coś źle robię czy po prostu to jest cała baza?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 20 lut 2016, o 22:15

Mam takie podejrzenie, że wielomian charakterystyczny wygląda trochę inaczej. Przelicz to, bo mi się wydaje, że tam jakieś zespolone wartości własne się pojawią.

splinter · Post autor: **splinter** » 20 lut 2016, o 22:19

Wielomian miałem podany w treści zadania.

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 20 lut 2016, o 22:27

No to ktoś przy układaniu/przepisywaniu tej macierzy się pomylił, bo patrz co na wolframie wychodzi:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,1,0,0%7D,%7B-1,2,0,0%7D,%7B-1,0,3,0%7D,%7B-1,0,1,2%7D%7D

No a bez prawidłowej formy tej macierzy nic nie zdziałamy. Musiała zajść pomyłka, bo wątpię, żeby ktoś specjalnie dał taki złośliwy przykład.

splinter · Post autor: **splinter** » 20 lut 2016, o 22:36

Masz rację, sam się pomyliłem przy przepisywaniu - w drugim wierszu obok 2 powinna być 1, nie 0. Ale poprawiłem to w wolphramie i faktycznie wyszły tylko 2 wektory, pozostałe były zerowe.

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 20 lut 2016, o 22:53

Dobra, to ja bym podszedł inaczej. Jeżeli najpierw wyznaczysz dwa wektory własne, to nie wiadomo, który wkładać do tej rekurencji. Ja bym zrobił inaczej.

\(\displaystyle{ (A - 2I)v^{(1)} = 0}\)

Stąd dostajemy rzeczywiście, że \(\displaystyle{ v^{(1)} = (\alpha, \alpha, \alpha, \beta)^T}\), a jak to rozdzielimy na dwa liniowo niezależne wektory, to dostaniemy wyliczone przez Ciebie wektory własne. Ale to nie je będziemy kładli do tej rekurencji, tylko właśnie ten wektor \(\displaystyle{ v^{(1)}}\) w takiej postaci - z parametrami.
No to teraz:

\(\displaystyle{ (A - 2I) v^{(2)} = v^{(1)}}\) , czyli

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\\-1&0&1&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} \alpha\\ \alpha\\ \alpha\\ \beta\end{array}\right]}\)

I tak wyliczamy kolejne wektory główne. Nie trzeba się przejmować ile ich będzie, po prostu w pewnym momencie nie będzie dało się wyznaczyć kolejnego - to będzie oznaczało, że mamy ich już tyle ile trzeba. A za parametry podstawimy wartości liczbowe dopiero na samym końcu.