Znaleźć bazę

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 18 lut 2016, o 20:19

Niech \(\displaystyle{ B=\left\{ v_1, v_2, v_3, v_4\right\}}\) będzie bazą pewnej podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ R^n}\). Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W=lin\left\{ w_1, w_2, w_3, w_4\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ w_1=\left[ -1, -2, 3, 1\right]_B}\), \(\displaystyle{ w_2=\left[ 2, 0, -1, 2\right]_B}\), \(\displaystyle{ w_3=\left[ 2, -2, -1, -2\right]_B}\), \(\displaystyle{ w_4=\left[ 1, -1, 2, 5\right]_B}\).
No i tutaj tak myślę, że skoro \(\displaystyle{ B}\) jest bazą to wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3, v_4}\) są liniowo niezależne, więc również wektory \(\displaystyle{ w_1, w_2, w_3, w_4}\) są liniowo niezależne, ale wydaje się to zbyt łatwe ;/

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 19 lut 2016, o 09:01

Gdyby tak było to z niezależności bazy kanonicznej wynikała by niezależność \(\displaystyle{ [ 1,1, 1]}\)i \(\displaystyle{ [2,2,2]}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 19 lut 2016, o 09:10

Dlatego wydawało mi się to głupie. Możesz powiedzieć jak to ruszyć?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 20 lut 2016, o 16:40

Zauważmy, że jako podprzestrzeń przestrzeni może zostać nasza nowa podprzestrzeń przedstawiona za pomocą w wektorów \(\displaystyle{ v_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,4}\). Teraz pytanie, czy wszystkie będą potrzebne, co można sprawdzić przy pomocy rzędu macierzy.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 20 lut 2016, o 18:25

Znaczy się mam zrobić taką macierz?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&-2&3&1\\2&0&-1&2\\2&-2&-1&-2\\1&-1&2&5\end{bmatrix}}\)
Jeśli tak to rząd jest równy 3.