Zbadaj wymiar

[Benny01]

Zbadać w zależności od parametru \(\displaystyle{ m \in R}\) wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V=lin\left\{ (m, 0, 1, 0), (2, m, -1, 1), (1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 0)\right\}}\).
Tylko postać schodkowa czy może jakoś inaczej się da?-- 18 lut 2016, o 19:12 --Czy mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ rz \begin{bmatrix} m&0&1&0\\2&m&-1&1\\1&1&1&1\\0&2&1&0\end{bmatrix} \stackrel{K_2-2K_3}{=} rz \begin{bmatrix} m&-2&1&0\\2&m+2&-1&1\\1&-1&1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}=1+\begin{bmatrix} m&-2&0\\2&m+2&1\\1&-1&1\end{bmatrix}}\)
I teraz sprawdzam:
-jeśli macierz ma wyznacznik różny od 0 to rząd jest równy \(\displaystyle{ 4}\)
-jeśli jest równy 0 to podstawiam te \(\displaystyle{ m}\)-y do pierwszej macierzy tj. 4x4 czy mogę tutaj?

[Qń]

Wszystko się zgadza.

W przypadku gdy wyznacznik się zeruje, stosowne \(\displaystyle{ m}\)-y możesz podstawić zarówno do wyjściowej macierzy jak i do ostatniej która Ci wyszła.

Równie dobrze można było zacząć od liczenia wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\) i przeprowadzenia podobnego rozumowania (rachunkowo jest to niemal to samo).

Q.

[Benny01]

Dzięki

[a4karo]

Ale jak już tak daleko zaszło, to moze jeszcze pare kroków: od pierwszej kolumny odejmij trzecią, a do drugiej ją dodaj

[Benny01]

No w sumie szybciej się będzie pracowało na macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\)
I widać od razu, że \(\displaystyle{ rz \ge 2}\)

[Sanae-san]

A ja dalej nie rozumiem co się tutaj stało... Wyjaśni ktoś łopatologicznie ?

[qwertghjio]

A ja dalej nie rozumiem co się tutaj stało... Wyjaśni ktoś łopatologicznie ?

Wszystko sprowadza się do sprawdzenia rzędu macierzy, która reprezentuje nam wymiar przestrzeni. Jeżeli rząd jest równy 4 to mamy doczynienia z przestrzenią 4 wymiarową, jak jest równy 3 to z 3 wymiarową itd. Jeżeli mamy macierz rozmiaru 4x4 i liczymy jej wyznacznik i okaże się, że wyznacznik jest równy 0, to rząd tej macierzy musi być mniejszy niż 4. Jeżeli liczymy wyznacznik z macierzy 3x3 i wychodzi równy 0, to rząd macierzy jest mniejszy niż 3 itd.

[Sanae-san]

a co się stało w przejściu gdzie z macierzy 4x4 powstało 1+ macierz 3x3?

[qwertghjio]

Zauważ, że on tam ciągle sprawdza jedynie rząd macierzy. Rząd macierzy 3x3 może być maksymalnie równy 3. Zauważ również, że ostatnią kolumnę doprowadził do postaci 0 0 1 0, a to oznacza, że rząd macierzy 4x4 jest przynajmniej równy 1. Skreślił on, więc ostatni wiersz i kolumnę 3, bo tam była ta jedynka. Otrzymał on wówczas macierz 3x3. I teraz jedyne co musi zrobić to sprawdzić rząd macierzy 3x3.
PS: Warto dodać, że mógł on sobie po prostu wyzerować całą kolumnę numer 3, jednak pominął on tą czynność i od razu zapisał wynik.