Udowodnić homomorfizm

[Benny01]

Sprawdzić, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f: x \in R \rightarrow cos2 \pi x +isin2 \pi x \in C}\) jest homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ (R, +)}\) w grupę \(\displaystyle{ (C \setminus \left\{ 0\right\} , \cdot )}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem?
Zapisałem sobie to tak:
\(\displaystyle{ f(x)=e^{i2 \pi x}}\)
Sprawdzam warunek \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)*f(y)}\)
\(\displaystyle{ f(x+y)=e^{i2 \pi (x+y)}}\)
\(\displaystyle{ f(x)*f(y)=e^{i2 \pi x}*e^{i2 \pi y}=e^{i2 \pi (x+y)}}\)
Tak, więc odwzorowanie jest homomorfizmem.
Funkcja wykładnicza jest injekcją, ale zastanawiam się jak tu będzie z surjekcją.

[szw1710]

Injekcją raczej ta funkcja nie jest. Geometrycznie to nawinięcie prostej na okrąg jednostkowy. Zastanów się jak ma się ta interpretacja do injektywności i surjektywności.

Prosta nie jest izomorficzna z okręgiem.

[Benny01]

Jeśli jest tak jak mówisz to nie będzie injekcją, bo na pewno przyjmie dwa razy te same wartości oraz nie będzie suriekcją, bo obrazem nie będzie całe \(\displaystyle{ C}\), ale ni jak nie mogę sobie tego wyobrazić, a wolfram nie chce pokazać rysunku.
Czy homomorfizm jest poprawnie sprawdzony?

[szw1710]

Tak, ale to wymaga dowodu. Bo to zespolona funkcja wykładnicza. Albo przynajmniej podania argumentu dlaczego tak jest. Mam wrażenie, że piszesz to mechanicznie.

[Benny01]

Czemu mechanicznie? Czy kontrargument na injekcje wystarczy?
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) oraz \(\displaystyle{ x=2}\) funkcja ma tą samą wartość. Ta surjekcja mnie zastanawia. Funkcja takiej postaci ma ograniczony zbiór wartości czy to wystarcza?

[szw1710]

Chodziło mi o sprawdzenie warunku homomorfizmu. Tę czynność uważam za mechaniczną. Może źle Cię osądziłem, ale na razie tak uważam. Dlatego pisałem o konieczności podania argumentu. Dokładnie: czemu \(\displaystyle{ e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}}\)?

[Benny01]

Wynika to z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach.

[szw1710]

Wyszło na moje. To są liczby zespolone i to co piszesz, nazywa się wzorem Eulera. Tego się dowodzi!!!

Ale nie martw się. Dużo ludzi tego nie rozumie, chciałem Ci uświadomić, że tak od razu nie można. To jest prawda, ale to trzeba wykazać. Oprzyj się na postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.

[Benny01]

Wiem, że to wzór Eulera, ale nadal nie widzę nic złego w tym co zrobiłem
Znaczy się na liczbach zespolonych inaczej się operuje?

[szw1710]

Zastanawiam się na ile możesz przyjąć znajomość wzoru Eulera. Jeśli przerabiałeś liczby zespolone, to pewnie można by to wziąć na wiarę. Coś przecież trzeba wiedzieć. Jednak i tak zrobiłbym proste ćwiczenie ze sprawdzeniem tej równości.

Liczby zespolone są czymś zupełnie innym od liczb rzeczywistych. Kto widział, aby funkcja wykładnicza była okresowa?

[Benny01]

W zespolonych dzieją się dziwne rzeczy
Liczby zespolone przerabiałem na początku semestru.
Dobrze to zróbmy to na postaci trygonometrycznej.
\(\displaystyle{ f(x+y)=cos[2 \pi (x+y)]+isin[2 \pi (x+y)]}\)
\(\displaystyle{ f(x) \cdot f(y)=(cos2 \pi x+isin2 \pi x)(cos2 \pi y+isin2 \pi y)}\)
\(\displaystyle{ f(x) \cdot f(y)=cos2 \pi x \cdot cos2 \pi y-sin2 \pi x \cdot sin2 \pi y+cos2 \pi x \cdot isin2 \pi y+isin2 \pi x \cdot cos2 \pi y}\)
Po zwinięciu do wzorów na \(\displaystyle{ cos(a+b)}\) oraz \(\displaystyle{ sin(a+b)}\) dostajemy to co wyżej.

[szw1710]

Właśnie o to mi chodziło. Teraz pewien jestem, że rozumiesz sprawę.

[Benny01]

Ok to wróćmy do tego tej bijekcji. Co teraz?

[szw1710]

Chyba to wyjaśniliśmy geometrycznie. Ten homomorfizm jest okresowy, więc nie może być bijekcją.

[Benny01]

Nie bardzo mogę sobie wyobrazić jak to będzie wyglądało. Da się gdzieś to narysować?