Udowodnić, że zbiór jest ciałem

[Benny01]

Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ Q( \sqrt{p} )=\left\{ x: x=a+b \sqrt{p}; a, b\in Q\right\}}\) (p jest liczbą pierwszą) z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem.
Myślę, że wszystkie warunki jest łatwo sprawdzić oprócz ostatniego na ciało tzn. istnienie elementu odwrotnego. Nie mam pomysłu jak to zrobić.

[Medea 2]

Tak naprawdę \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt p) = \{a + b \sqrt p : a, b \in \QQ\}}\).

Wskazówka: zauważ, że jest to podpierścień \(\displaystyle{ \RR}\). Odwróć dowolny element w \(\displaystyle{ \RR}\) właśnie i przemnóż licznik, mianownik przez sprzężenie:

\(\displaystyle{ \frac 1 {a + b \sqrt{p} }= \frac {a - b\sqrt{p}}{(a - b\sqrt{p})(a + b\sqrt{p})}}\).

[Benny01]

Co daje, że jest to podpierścień \(\displaystyle{ R}\)? Właśnie nie byłem pewny czy tak mogę sobie to zapisać czy muszę sam wyprowadzić ten wzór. Swoja drogą jak to jest z zerem i jego elementem odwrotnym?

[Kartezjusz]

I tak musisz pokazać, że odwrotność jest tej postaci.

[Benny01]

Wydaje mi się że takie coś wystarczy:
jeśli istnieje el. odwrotny do \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p})}\) to
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p})*(c+d \sqrt{p})=1}\), więc dla \(\displaystyle{ c, d \neq 0}\)
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p})= \frac{1}{c+d \sqrt{p}}= \frac{c-d \sqrt{p} }{c^2-d^2p}}\)