Oblicz wymiary podprzestrzeni

Th3NiKo · Post autor: **Th3NiKo** » 12 lut 2016, o 19:57

Cześć!

Zad 97
Określone są podprzestrzenie \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR^{4}}\). Obliczyć wymiary podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}, W_{2},W_{1} + W_{2},W_{1} \cap W_{2}}\).

\(\displaystyle{ e) W_{1} = \Lin \left( \left[ 1,2,6,3\right] \right)
W_{2} = \Lin \left( \left[ 1,4,5,3\right] , \left[ 2,0,9,4\right] , \left[ 0,1,7,3\right] \right)}\)

Mógłby mnie ktoś nakierować jak podchodzić do takich zadań?
Mam już kompletny mętlik w głowie. Powinienem tutaj, sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ \left[ 1,2,6,3\right] , \left[ 1,4,5,3\right] ...}\) są liniowe niezależne? Tzn wstawić to w macierz i upraszczać do macierzy schodkowej?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 12 lut 2016, o 21:01

Po kolei. Z którym podpunktem masz problem. Wymiar \(\displaystyle{ W_1}\) jest chyba jasny.

Jeżeli chcesz policzyć wymiar \(\displaystyle{ W_2}\) to musisz zbadać liniową niezależność wektorów generujących.

Th3NiKo · Post autor: **Th3NiKo** » 12 lut 2016, o 21:23

Po paru przekształceniach wychodzi:
\(\displaystyle{ W_{2} =\left[\begin{array}{cccc}1&4&5&3\\2&0&9&4\\0&1&7&3 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1&0&-23&-9\\0&1&7&3\\0&0&1& \frac{2}{5} \end{array}\right]}\)

Z tego wynika ,że \(\displaystyle{ \dim = 3}\), bo są trzy wiodące jedynki? Czy powinienem też wyzerować to co znajduję sie "nad" jedynkami?

A co do sumy i części wspólnej. Sumę mam sprawdzić ty samym sposobem co sprawdzałem teraz, tylko dla wszystkich wektorów? A może jest jakiś prostszy sposób?

Pewnie moje pytania są banalne, ale dopiero zaczynam.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 12 lut 2016, o 21:30

Nie sprawdzałem przekształceń, ale widać, że wszystkie te wektory są liniowo niezależne z Twojej ostatecznej formie. Rząd macierzy jest \(\displaystyle{ 3}\).

Czyli na razie wiemy: \(\displaystyle{ \dim W_1 = 1, \dim W_2 = 3}\)

Żeby policzyć wymiar sumy wrzuć wszystkie wektory do macierzy i policz wyznacznik np.

Th3NiKo · Post autor: **Th3NiKo** » 12 lut 2016, o 21:58

Wyszło mi \(\displaystyle{ \det = 0}\).
To oznacza ,że suma nie może być równa 4? I teraz liczę minory trzeciego stopnia, tak jak w przypadku rzędu?

A \(\displaystyle{ W_{1} \cap W_{2}}\), mogę wyliczyć ze wzoru: \(\displaystyle{ \dim W_{1} + \dim W_{2} - \dim\left( W_{1} + W_{2} \right)}\) ?

Dzięki za pomoc!

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 12 lut 2016, o 22:05

Th3NiKo · Post autor: **Th3NiKo** » 13 lut 2016, o 13:29

Teraz przeglądając zadania natknąłem się na podprzestrzeń określoną układem równań, a mianowicie:
\(\displaystyle{ W_{1} = \Lin \left( \left[ 1,0,1,0\right],\left[ 0,1,0,1\right] \right)}\)

\(\displaystyle{ W_{2} = \begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{4} = 0 \end{cases}}\)

Rozwiązaniem jest :
\(\displaystyle{ x_{1} = - x_{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{3} = x_{2} - 2x_{4}}\)

Ale jak teraz zbadać sumę? Rozumiem ,że \(\displaystyle{ \dim W_{2} = 2}\).

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lut 2016, o 14:21

Przestrzen \(\displaystyle{ W_2}\) można zatem opisać:

\(\displaystyle{ W_2=\left\{ \left( -x_4,x_2,x_2-2x_4,x_4\right) : x_2,x_4 \in \RR \right\} = \left\{x_2\left( 0,1,1,0\right)+ x_4\left( -1,0,-2,1 \right) : x_2,x_4 \in \RR\right\}}\)

a to jest równoważne:

\(\displaystyle{ W_2=\Lin\left( \left( 0,1,1,0\right),\left( -1,0,-2,1\right) \right)}\)