Wektory i wartości własne
-
zielony789
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 2 razy
Wektory i wartości własne
Czym są jak działają do czego służą i jak ich używać. Opis z Wikipedii mnie nie satysfakcjonuje.
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Wektory i wartości własne
Proste równanie:
\(\displaystyle{ (1) \ Ax=\lambda x}\)
oznaczenia:
A - macierz operatora liniowego
x - wektor (tzw. wektor własny) z przestrzeni liniowej
λ - liczba (tzw. wartość własna) z ciała liczbowego, dajmy na to, rzeczywistego
Załóżmy, że równanie (1) spełnione jest dla wektorów \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n}\) i dla liczb \(\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n}\) w sposób następujący:
\(\displaystyle{ Ax_i =\lambda_i x_i}\)
Wtedy zbiór wektorów \(\displaystyle{ \{ x_i \}_{i=1}^{n}}\) i zbiór liczb \(\displaystyle{ \{\lambda_i \}_{i=1}^{n}}\) nazywamy odpowiednio zbiorem wektorów i wartości własnych operatora A.
A co to znaczy tak bez żargonu matematycznego - zauważ, iż prawa strona równania (1) przedstawia mnożenie wektora przez liczbę - czyli tak naprawdę zmianę długości (i ewentualnie zwrotu) wektora bez zmiany jego kierunku w przestrzeni. Stąd, jeżeli podziałasz operatorem na wektor, który ma tę cechę, iż jest wektorem własnym, to jego długość ulegnie zmianie λ-krotnie, gdzie λ to liczba, odpowiadająca temu wektorowi.
Obliczanie wielkości własnych to cała procedura, w skrócie odbywa się to w sposób następujący:
1. Wyznaczamy tzw. wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\), otrzymując funkcję zmiennej λ. Pierwiastki tego wielomianu to wartości własne.
2. Rozpatrujemy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) dla każdej wartości własnej - przekształcając równanie, otrzymujemy nowy operator postaci \(\displaystyle{ (A-\lambda I)x=0}\) i rozwiązujemy tak powstałe równanie macierzowe, otrzymując współrzędne wektora własnego. Postępujemy tak ze wszystkimi wartościami własnymi, otrzymując odpowiednie współrzędne.
3. Tworzymy macierz P, zapisując otrzymane wektory własne kolumnowo i obliczamy następnie \(\displaystyle{ P^{-1}AP=B}\). Macierz B to macierz, która ma na głównej przekątnej wartości własne operatora A, poza tym same zera. Jeżeli uda się to nam zrobić, to potwierdzamy, że wielkości własne operatora zostały wyznaczone poprawnie.
\(\displaystyle{ (1) \ Ax=\lambda x}\)
oznaczenia:
A - macierz operatora liniowego
x - wektor (tzw. wektor własny) z przestrzeni liniowej
λ - liczba (tzw. wartość własna) z ciała liczbowego, dajmy na to, rzeczywistego
Załóżmy, że równanie (1) spełnione jest dla wektorów \(\displaystyle{ x_1, x_2, ..., x_n}\) i dla liczb \(\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n}\) w sposób następujący:
\(\displaystyle{ Ax_i =\lambda_i x_i}\)
Wtedy zbiór wektorów \(\displaystyle{ \{ x_i \}_{i=1}^{n}}\) i zbiór liczb \(\displaystyle{ \{\lambda_i \}_{i=1}^{n}}\) nazywamy odpowiednio zbiorem wektorów i wartości własnych operatora A.
A co to znaczy tak bez żargonu matematycznego - zauważ, iż prawa strona równania (1) przedstawia mnożenie wektora przez liczbę - czyli tak naprawdę zmianę długości (i ewentualnie zwrotu) wektora bez zmiany jego kierunku w przestrzeni. Stąd, jeżeli podziałasz operatorem na wektor, który ma tę cechę, iż jest wektorem własnym, to jego długość ulegnie zmianie λ-krotnie, gdzie λ to liczba, odpowiadająca temu wektorowi.
Obliczanie wielkości własnych to cała procedura, w skrócie odbywa się to w sposób następujący:
1. Wyznaczamy tzw. wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\), otrzymując funkcję zmiennej λ. Pierwiastki tego wielomianu to wartości własne.
2. Rozpatrujemy równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) dla każdej wartości własnej - przekształcając równanie, otrzymujemy nowy operator postaci \(\displaystyle{ (A-\lambda I)x=0}\) i rozwiązujemy tak powstałe równanie macierzowe, otrzymując współrzędne wektora własnego. Postępujemy tak ze wszystkimi wartościami własnymi, otrzymując odpowiednie współrzędne.
3. Tworzymy macierz P, zapisując otrzymane wektory własne kolumnowo i obliczamy następnie \(\displaystyle{ P^{-1}AP=B}\). Macierz B to macierz, która ma na głównej przekątnej wartości własne operatora A, poza tym same zera. Jeżeli uda się to nam zrobić, to potwierdzamy, że wielkości własne operatora zostały wyznaczone poprawnie.