Homomorfizm (Macierze)

[Velarian]

Dany jest homomorfizm\(\displaystyle{ f:R^3->R^4}\) ,który w ustalonych bazach kanonicznych obu przestrzeni ma macierz przekształcenia w postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&-1&1\\0&1&1\\-2&1&-3\end{array}\right]}\)
Wyznacz bazę i wymiar jądra przekształcenia.
________________________
Tak wyznaczam bazę
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&-1&1\\0&1&1\\-2&1&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}\\x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\0\\0 \end{array}\right]}\)

A wymiar to po prostu liczę wyznacznik tak?
Mógłbym prosić o jakieś uwagi co do rozwiązania?

[Premislav]

Bazę jądra możesz faktycznie wyznaczyć, rozwiązując ten układ równań, który otrzymasz z warunku
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&-1&1\\0&1&1\\-2&1&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}\\x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\0\\0 \end{array}\right]}\)
i parametryzując.

Przepraszam, a jak chcesz policzyć wyznacznik niekwadratowej macierzy?-- 11 lut 2016, o 17:59 --Jak znajdziesz bazę jądra, to moc (czyli liczność) tej bazy to będzie wymiar jądra.

[Velarian]

Czy ja się nie pomyliłem i przypadkiem nie powinno być
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\1&-1&1\\0&1&1\\-2&1&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\0\\0 \end{array}\right]}\)
??
Bo jeśli damy \(\displaystyle{ x _{4}}\) ,to nie można wykonać mnożenia macierzy

[Premislav]

Tak, nie zauważyłem tego, przepraszam. No to po przemnożeniu dostajesz następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=0\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}+x_{3}=0 \\ -2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0\end{cases}}\)

[Velarian]

Okej policzyłem i mi wyszło coś takiego
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
czyli wymiar jądra jest równy 3?
a bazę w jaki sposób mam zapisać?
coś mi się kojarzy ,że
\(\displaystyle{ kerA={[ x _{1} ,x _{2} ,x _{3}] ^{T} }}\)

[Premislav]

Rozumiem, że to, co napisałeś, to jest macierz główna układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=0\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}+x_{3}=0 \\ -2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0\end{cases}}\)
po wykonaniu np. eliminacji Gaussa. Z tego wychodzi, że jądro jest trywialne, tj. złożone tylko z wektora zerowego, a zatem wymiar jądra to zero. No i tak wyjść powinno.