Sprawdzić że prosta..

[discoband]

Sprawdzić że prosta

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = -3t\\y=1+t\\z=-1+t \end{cases}}\)leży na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ \pi : x-2y+5z+7=0.}\) Znaleźć równanie parametryczne prostej leżącej na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) i prostopadłej do prostej w punkcie B(0.1.-1)

\(\displaystyle{ cos \alpha ( \vec{u} \cdot \vec{v} )= \frac{-3-2+5}{ \sqrt{11}* \sqrt{30} }=0}\)
Znalezienie pkt wspólnego prostej i płaszczyzny
\(\displaystyle{ -3t-2*(-1+t)+5*(-1+t)+7=0}\)
Brak pkt wspólnych prosta równoległa do płaszczyzny
pkt na płaszczyźnie spełniający jej równanie np.\(\displaystyle{ A(0,0,- \frac{7}{5})}\)
Tworzymy wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=(0,1,- \frac{2}{5})}\)
Mnożymy wektorowo \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) oraz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \vec{v}=(-3,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)x\(\displaystyle{ \vec{v}=(- \frac{3}{5}, \frac{-6}{5},-3)}\)

Równanie prostej:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x = \frac{-3}{5} t\\y=1- \frac{6}{5}t\\z=-1-3t \end{cases}}\)

Czy dobrze rozwiązałem zadanie? Mam wątpliwości co do pytania o to czy prosta leży na płaszczyźnie.

[kerajs]

Znalezienie pkt wspólnego prostej i płaszczyzny
\(\displaystyle{ -3t-2*(-1+t)+5*(-1+t)+7=0}\)
Brak pkt wspólnych prosta równoległa do płaszczyzny

Wynik \(\displaystyle{ 0=0}\) oznacza że równanie jest spełnione dla każdego ,,t' więc prosta leży na płaszczyźnie.

pkt na płaszczyźnie spełniający jej równanie np.\(\displaystyle{ A(0,0,- \frac{7}{5})}\)
Tworzymy wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=(0,1,- \frac{2}{5})}\)
Mnożymy wektorowo \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) oraz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \vec{v}=(-3,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}}\)x\(\displaystyle{ \vec{v}=(- \frac{3}{5}, \frac{-6}{5},-3)}\)

Dlaczego szukasz prostej prostopadłej do danej płaszczyzny skoro masz ,,Znaleźć równanie parametryczne prostej leżącej na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)' ?

[discoband]

Więc jak wyznaczyć wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\)

Chodzi mi o postać równania które trzeba ułożyć aby wyznaczyć współrzędne pkt. B.

[kerajs]

Wektor kierunkowy szukanej prostej to iloczyn wektorowy wektora normalnego płaszczyzny i wektora kierunkowego prostej danej

[discoband]

A co z warunkiem o prostopadłości w punkcie B(0,1,-1)?

[kerajs]

Wektor który Ci wyjdzie jest wektorem kierunkowym nieskończenie wielu prostych. Ty wybierasz tę która przechodzi przez punkt B. Najłatwiej to zrobić wstawiając do postaci parametrycznej współrzędne punktu B jako punktu zaczepienia tej prostej.

[discoband]

Dziękuje