Obraz i jądro przekształcenia, macierze.

[KordianCh]

Dobry wieczór wszystkim, pogubiłem się troszkę w tej tematyce. Mam wrażenie, że ją rozumiem, ale ciągle mam wątpliwości czy robie wszystko dobrze, czy nie.
Znaleźć jądro i obraz przekształcenia:
\(\displaystyle{ \varphi :R^3 \rightarrow R^2
\\
\varphi ((x,y,z))=(x,y+z)}\)
Dość elementarny przykład, ale muszę wiedzieć, czy wszystko dobrze rozumiem.
Jądro obrazu to te wektory, które przechodzą na zero (nieformalnie), więc rozważam układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=0
\\
y+z=0
\end{cases}}\)
Parametryzuję zmienną \(\displaystyle{ z}\) tzn.:
\(\displaystyle{ \begin{cases}

x=0
\\
y=-s
\\
z=s
\end{cases}}\)
Zatem jądrem mojego przekształcenia jest zbrpostaci:
\(\displaystyle{ Ker\varphi = \left\{ (0,-s,s); s \in R\right\}}\)
Do wyznaczenia obrazu przekształcenia najlepiej mi było policzyć na co przechodzą wektory z bazy kanonicznej:
\(\displaystyle{ \varphi((1,0,0))=(1,0)
\\
\varphi((0,1,0)) = (0,1)
\\
\varphi((0,0,1))=(0,1)}\)
Widzimy,że dwa ostatnie wektory są liniowo zależne, więc obrezem ukłądu będzie zbiór:
\(\displaystyle{ Im\varphi=span((1,0),(0,1))}\)
Czy wszystko jest w porządku? Wiem, że niektóre sformułowania są nieprecyzyjne, ale czy dobrze zrobiłem to zadanie?

[leg14]

Dobrze.

[KordianCh]

Chciałbym jeszcze zadać pytanie odnośnie macierzy przekształcenia oraz jej interpretacji.
Mam takie przekształcenie i chciałbym zapisać sobie jego macierz:
\(\displaystyle{ \varphi: R^3 \rightarrow R^4
\\
\varphi((x,y,z))=(x,y+z,x-y,z)}\)
Wyliczam sobie na co przechodzą wektory bazowe:
\(\displaystyle{ \varphi((1,0,0))= (1,0,1,0)
\\
\varphi((0,1,0))= (0,1,-1,0)
\\
\varphi((0,0,1))=(0,1,0,1)}\)
Następnie te wyniki wpisuję wkolejne kolumny macierzy (czemu nie w wiersze?):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 1&-1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right]}\)
Mogę sobię sprowadzić moją macierz \(\displaystyle{ M}\) do postaci schodkowej i policzyć jej rząd, żeby wiedzieć jaki jest wymiar jądra. Co się stanie jeżeli któryś z wierszy mi się wyzeruje, jak to interpretować?

[Kartezjusz]

Że rząd macierzy nie jest maksymalny

[a4karo]

Że rząd macierzy nie jest maksymalny

Nie do końca: jak tu sie wyzeruje jeden wiersz (a musi - z powodu ilości), to rząd macierzy może być 3, czyli maksymalny. I tak właśnie jest w przypadku danego odwzorowania.

Natomiast gdyby wyzerowały się dwa wiesze, to oznaczałoby, że odwzorowanie zredukowało przestrzeń trójwymiarową do dwuwymiarowej, innymi słowy, że jego jądro przestrzenią liniową o wymiarze większym niż zero. Lub jeszcze inaczej, że odwzorowanie nie jest różnowartościowe.

Tu akurat wymiar jądra liczy się prosto rozwiązując choćby w pamięci równanie \(\displaystyle{ \varphi(x,y,z)=(0,0,0,0)}\)