Sprawdzić podprzestrzeń

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 8 lut 2016, o 23:34

Udowodnić, że \(\displaystyle{ U=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\-\overline{b}&\overline{a}\end{bmatrix}, a, b\in C\right\}}\) jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\displaystyle{ (M_{2 \times 2}(C), +, K, *)}\) macierzy o wyrazach zespolonych nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), jeżeli:
a)\(\displaystyle{ K=C}\)
b)\(\displaystyle{ K=R}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 lut 2016, o 23:45

Nad ciałem liczb zespolonych siada jednorodność. Weż \(\displaystyle{ a=b=k=i}\)warunek jednorodności przy \(\displaystyle{ k=i}\)pada.
W czym problem w rzeczywistych?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 8 lut 2016, o 23:55

Warunek jednorodności? Problem mam taki, że wygląda to bardzo skomplikowanie i wydaje mi się że te 3 warunki na podprzestrzeń to nie wszystko.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 8 lut 2016, o 23:58

A) siada jednorodność
B) gra. Sprawdzasz warunki.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 9 lut 2016, o 00:17

Może miałem takie coś jak jednorodność, ale pod innym pojęciem. Mógłbyś powiedzieć co to? Czy tutaj sprawdza się te same warunki co w innych podprzestrzeniach?

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 9 lut 2016, o 00:19

Że pomnożenie przez skalar nie wywala z podprzestrzeni.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 9 lut 2016, o 00:28

No to wydaje mi się że będzie na odwrót, bo liczba rzeczywista zawiera się w liczbach zespolonych, a nie na odwrót.-- 9 lut 2016, o 01:29 --Zresztą wydaje mi się że w obydwu przypadkach będzie dobrze.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 9 lut 2016, o 00:36

Jak w liczbach zespolonych pasuje to w rzeczywistych musi. Bo rzeczywiste są podzbiorem zespolonych. Jak ktoś twierdzi, że Polacy kradną, to tym bardziej Warszawiacy.
Dla kontrprzykładu weź macierz dla \(\displaystyle{ a=b=i}\)i skalar \(\displaystyle{ i}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 9 lut 2016, o 00:42

Dostane macierz z minus jedynkami i jedynką.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 9 lut 2016, o 09:05

Rzeczywiście błąd, ale weź \(\displaystyle{ a, b=1,k=i}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 10 lut 2016, o 15:23

W sumie to chyba dla \(\displaystyle{ a=b=k=i}\) też było dobrze.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 11 lut 2016, o 07:33

Tak. Jednak

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 11 lut 2016, o 11:00

b)
1)
Dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) mamy macierz zerową, więc należy do podprzestrzeni
2) Czy \(\displaystyle{ A+B \in U}\)?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_1&b_1\\-\overline{b_1}& \overline{a_1}\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_2&b_2\\-\overline{b_2}& \overline{a_2}\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_1+a_2&b_1+b_2\\-\overline{b_1+b_2}& \overline{a_1+a_2}\end{bmatrix}}\)
Tutaj trzeba dać jakiś komentarz?
c) Czy \(\displaystyle{ \alpha *A\in U}\)?
Wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha =\overline{ \alpha }}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in R}\)

\(\displaystyle{ \alpha \begin{bmatrix} a&b\\-\overline{b}& \overline{a}\end{bmatrix}}\)=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \alpha a& \alpha b\\-\overline{ \alpha b}& \overline{ \alpha a}\end{bmatrix}}\)
Pytanie jak wyżej.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 14 lut 2016, o 23:27

1.Dokładnie
2. Gdzie są nawiasy
3.Az taki bezpośredni bym nie był,

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 15 lut 2016, o 09:39

Ok, fakt, brak nawiasów. Czy trzeba jakichś komentarzy do takich zadanek?