Wyznacz bazę i wymiar bazy podprzestrzeni U w przestrzeni R4

[Dzonzi]

określonej jako:
\(\displaystyle{ U = \left\{ (x-y), (z-x), (x+y-2z), (y-z)\right\}}\)
\(\displaystyle{ x,y,z,t, \in R}\)
(Określ najpierw zbiór generatorów U i zbadaj jego liniową niezależność).

Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ (x-y, z-x, x+y-2z, y-z) = (x, -x, x, 0) + (-y, 0, y, y) + (0, z, -2z, -z) = x(1, -1, 1, 0) + y(-1, 0, 1, 1) + z(0, 1, -2, -1)}\)

\(\displaystyle{ U = \Lin\left( (1, -1, 1, 0), (-1, 0, 1, 1), (0,1,-2,-1)\right)}\)
To jest ten zbiór generatorów U ?

Zbadałem jego niezależność liniową metodą macierzy schodkowej i wyzerował mi się 3 wiersz, więc wektory liniowo niezależne to tylko 1 i 2 i to z nich trzeba wyznaczyć bazę? Jaki będzie wymiar?

Pomożecie dokończyć? Tylko proszę na chłopski rozum, nie definicjami bo nie miałem tego na zajęciach i nie ogarniam. Proszę również sprawdzić, czy do tej pory zrobiłem dobrze

Dziękuje

Czy baza to będą po prostu te dwa wektory liniowo niezależne:
\(\displaystyle{ V_1 = (1, -1, 1, 0), V_2 = (-1, 0, 1, 1)}\)
a wymiar \(\displaystyle{ \dim U = 2}\)

Cy to koniec zadania i czy jest dobrze wszystko?

[Kacperdev]

Ten zbiór \(\displaystyle{ U}\) na pewno tak nie wyglądał. Raczej:

\(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x-y,z-x,x+y-2z,y-z\right) : x,y,z \in \RR \right\}}\)

Dobrze wyznaczyłeś zbiór generatorów.
Reszta też ok.

[Dzonzi]

Mas rację. A jak to jest z tym sprawdzaniem liniowej niezależności?
Możemy liczyć z definicji, możemy obliczyć wyznacznik macierzy (o ile macierz kwadratowa), oraz możemy liczyć macierzą schodkową, gdy macierz utworzona z wektorów nie jest kwadratową, tak?

Liczyłem tą ostatnią i wyzerował mi się wiersz ostatni. Czemu tak?

[Kacperdev]

Dobrze mówisz.
Wyzeruje się, więc jest zbędny i baze tworzą np. dwa pierwsze wektory generujące przestrzeń.

[Dzonzi]

A czemu w poleceniu jest jeszcze tajemnicza literka \(\displaystyle{ t \in R}\)?

[Kacperdev]

Ktoś widocznie się zapędził, albo źle przepisane polecenie.

[Dzonzi]

Polecenie przepisane jest dobrze, bo tak też było na kartce z zdaniami na egzaminie. Może to jakaś tajemnicza metoda mojego profesora?

[Kacperdev]

Być może. Tu bynajmniej nie ma ona znaczenia.

[Dzonzi]

Dziękuje.
A jak poradzić sobie z takim:
\(\displaystyle{ V = (x+2y-z+t = x+y = x-y+t)}\)
\(\displaystyle{ x,y,z,t \in R}\)
Polecenie jest takie samo jak w temacie wątku, tylko tutaj zapis jest nieco inny.

[Kacperdev]

Znowu tragiczny zapis przestrzeni.

\(\displaystyle{ V = \left\{ \left( x,y,z,t\right) : x+2y-z+t = x+y = x-y+t \wedge x,y,z,t \in \RR\right\}}\)

Rozdziel te równości.

[Dzonzi]

No rozdzieliłem i wyszło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y - z + t = 0 \\ 3y - z = 0\\2y - t = 0 \end{cases}}\)

Wpakowałem do macierzy, dodałem wiersz 1 do 3, więc 3 wykeśliłem (był taki sam jak drugi), od W2 odjąłem W1 i zostało mi:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 & -3 & 0\\
\end{array}
\right]}\)

i nie wiem co dalej z tym zrobć? Jest z parametrem, ale co mi to da?

[Kacperdev]

Twierdzenie Kroneckera-Capellego.