Hejka, mam problem z zadaniem:
\(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń liniowa, \(\displaystyle{ f:X \rightarrow X}\) przekształcenie liniowe, t.że \(\displaystyle{ f \circ f = id _{X}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \exists _{U, V \subset X}}\), t.że \(\displaystyle{ U \oplus V = X}\) i \(\displaystyle{ f}\) - symetria przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) wzglądem \(\displaystyle{ U}\) wzdłuż \(\displaystyle{ V}\), t.j \(\displaystyle{ \forall _{x\in X} \exists !_{u \in U} \exists !_{v \in V} f(x)=f(u+v)=u-v}\)
Symetria przestrzeni X względem U wzdłuż V
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Symetria przestrzeni X względem U wzdłuż V
Niech \(\displaystyle{ V = \ker f,\, U = {\rm im}\, f}\). Wówczas \(\displaystyle{ X=U\oplus V}\). Rzeczywiście, niech \(\displaystyle{ x\in X}\). Mamy \(\displaystyle{ x=f(x) + (x- f(x))}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)\in U}\) a \(\displaystyle{ f(x-f(x))=f(x)-f(x)=0}\), tj. \(\displaystyle{ x-f(x)\in \ker f}\). Spróbuj pokazać, że ten rozkład jest jednoznaczny.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 7 lut 2016, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Symetria przestrzeni X względem U wzdłuż V
ale \(\displaystyle{ f(x-f(x))=f(x)-f(f(x))=f(x)-x}\), czy może ja czegoś nie widzę
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Symetria przestrzeni X względem U wzdłuż V
Rzeczywiście, nie doczytałem, myślałem, że piszesz o rzucie.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 7 lut 2016, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Symetria przestrzeni X względem U wzdłuż V
Ok, dzięki, już mam.
\(\displaystyle{ U=ker(id_{X}-f)=\{x \in X:x=f(x)\}}\)
\(\displaystyle{ V=ker(id_{X}+f)=\{x \in X:x=-f(x)\}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ X=U \oplus V}\), bo dla \(\displaystyle{ x \in X}\) mamy:
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(x-f(x))+\frac{1}{2}(x+f(x))}\), gdzie
\(\displaystyle{ x-f(x) \in V \wedge x+f(x) \in U}\), więc
\(\displaystyle{ f(x)=f(u+v)=f(u)+f(v)=u-v}\)
\(\displaystyle{ U=ker(id_{X}-f)=\{x \in X:x=f(x)\}}\)
\(\displaystyle{ V=ker(id_{X}+f)=\{x \in X:x=-f(x)\}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ X=U \oplus V}\), bo dla \(\displaystyle{ x \in X}\) mamy:
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(x-f(x))+\frac{1}{2}(x+f(x))}\), gdzie
\(\displaystyle{ x-f(x) \in V \wedge x+f(x) \in U}\), więc
\(\displaystyle{ f(x)=f(u+v)=f(u)+f(v)=u-v}\)