Sprawdzić podprzestrzeń

[Benny01]

Które z podzbiorów \(\displaystyle{ W}\) odpowiedniej przestrzeni \(\displaystyle{ V(K)}\) są podprzestrzeniami wektorowymi:
\(\displaystyle{ W=\left\{ (x, y, x)\in \\R^3: (x, y, z)=(a+c, b-a, b+c), a, b, c\in \\R}\right\}}\),
\(\displaystyle{ V(K)}\)\(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \\R^3(R);}\)
Trzeba tutaj sprawdzać wszystkie warunki na podprzestrzeń czy może chodzi o coś innego?

[PiotrowskiW]

Sprawdź wszystkie dwa warunki. Jeśli oba zachodzą to jest podprzestrzeń, jeśli któryś jest fałszywy to drugiego już nie sprawdzaj.

[Benny01]

Dwa? Nie trzy?
1) \(\displaystyle{ 0\in V}\)
2) \(\displaystyle{ v+w\in V}\)
3) \(\displaystyle{ \alpha v\in V}\)

1) \(\displaystyle{ (a+c, b-a, b+c)=(0, 0, 0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=0 \\ b-a=0 \\ b+c=0 \end{cases}}\)

No i w sumie tutaj wychodzi mi nieskończenie wiele rozwiązań, zależnie od jednego z parametrów.

2)
\(\displaystyle{ v+w=(x_1, y_1, z_1)+(x_2, y_2, z_3)=}\)
\(\displaystyle{ (a_1+c_1, b_1-a_1, b_1+c_1)+(a_2+c_2, b_2-a_2, b_2+c_2)=}\)
\(\displaystyle{ a_1(1, -1, 0)+b_1(0, 1, 1)+c_1(1, 0, 1)+a_2(1, -1, 0)+b_2(0, 1, 1)+c_2(1, 0, 1)=}\)\(\displaystyle{ (a_1+a_2)*(1, -1, 0)+(b_1+b_2)*(0, 1, 1)+(c_1+c_2)*(1, 0, 1)=}\)
\(\displaystyle{ (a_1+a_2, -a_1-a_2, 0)+(0, b_1+b_2, b_1+b_2)+(c_1+c_2, 0, c_1+c_2)=}\)
\(\displaystyle{ ((a_1+a_2)+(c_1+c_2), -(a_1+a_2)+(b_1+b_2), (b_1+b_2)+(c_1+c_2))}\)

3)Chyba oczywiste?

[PiotrowskiW]

pierwszy warunek jest niepotrzebny, bo można go wyprowadzić z drugiego i trzeciego.
Zamiast tego:

\(\displaystyle{ a_1(1, -1, 0)+b_1(0, 1, 1)+c_1(1, 0, 1)+a_2(1, -1, 0)+b_2(0, 1, 1)+c_2(1, 0, 1)=
(a_1+a_2)*(1, -1, 0)+(b_1+b_2)*(0, 1, 1)+(c_1+c_2)*(1, 0, 1)=}\)

nie wiem po co to komu.
Lepiej rozpisz to "oczywiste i będzie dobrze.

[Benny01]

Jak Twoim zdaniem powinien wyglądać podpunkt 2?
3)
\(\displaystyle{ \alpha *(x, y, z)=( \alpha x, \alpha y, \alpha z)=( \alpha (a+c), \alpha (b-a), \alpha (b+c))}\)

[PiotrowskiW]

\(\displaystyle{ v+w=(x_1, y_1, z_1)+(x_2, y_2, z_3)=(a_1+c_1, b_1-a_1, b_1+c_1)+(a_2+c_2, b_2-a_2, b_2+c_2)=(a_1+c_1+a_2+c_2,b_1-a_1+b_2-a_2,b_1+c_1+b_2+c_2)=((a_1+a_2)+(c_1+c_2), -(a_1+a_2)+(b_1+b_2), (b_1+b_2)+(c_1+c_2))}\)

Tak mi się bardziej podoba. (prostszy zapis, lepiej widzę )

[Benny01]

Może wygląda to trochę idiotycznie, ale Pani doktor czepia się o każdy szczegół
Do skalaru coś trzeba dodać?

[PiotrowskiW]

Trzeci warunek dobrze. Jeśli chcesz, żeby nikt się nie czepiał to pisz zawsze zdania typu: ustalmy dowolny skalar "alfa" z ciała skalarów oraz dowolny wektor "iks" postaci... ze zbioru itp.
oraz wnioski, np. na końcu obliczenia, że wektor takiej postaci należy tam gdzie ma należeć albo że nie należy (spełnia to coś, czy nie spełnia).

[Benny01]

Co do tego zadanka trzeba podać bazę i wymiar.
\(\displaystyle{ B=\left\{ (1, -1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\right\}}\)
\(\displaystyle{ dimV=3}\)

Kolejne zadanko troszkę gorsze.
\(\displaystyle{ W=\left\{ A\in M_{n \times x}: A+A^T=I\right\}}\)
\(\displaystyle{ V(K)=M_{n \times n}(R)}\)
Jak to ruszyć?

[PiotrowskiW]

Tak samo. Znowu sprawdzasz dwa warunki.

[Benny01]

Tylko właśnie nie wiem jak tutaj patrzeć na to równanie.
\(\displaystyle{ A_1+A_1^T+A_2+A_2^T=(A_1+A_2)+(A_1^T+A_2^T)?}\)

[PiotrowskiW]

suma transpozycji, to transpozycja sumy. Wynieś znak transpozycji za nawias w następnym kroku.
To są za łatwe rzeczy. Musisz to sam dokonczyć.

[Kartezjusz]

Tu widać, że pierwszy warunek jest istotny. Warunek drugi i trzeci widać, kłopot z przynależnością wektora zerowego.

[Benny01]

Tak więc \(\displaystyle{ (A_1+A_2)+(A_1+A_2)^T}\)
\(\displaystyle{ v+w\in V}\)
\(\displaystyle{ \alpha *(A+A^T)= \alpha A+ \alpha A^T= \alpha I}\)
Tylko jak to będzie z tym wektorem zerowym?
Macierz zerowa nie będzie równa macierzy jednostkowej.

[Kartezjusz]

Względem dodawania? Nie sądzę.