Znajdź bazę podprzestrzeni

[nasti]

\(\displaystyle{ V = \left\{(x,y,z) \in \mathbb {R}^3 : (x,y,z) = (a+2b+c, 3a-b+2c,5a+3b+4c) \ a,b,c \in \matbb{R} \right\}}\)

Czy bazę takiej przestrzeni wyznaczam w taki sposób?
\(\displaystyle{ (a+2b+c, 3a-b+2c,5a+3b+4c) = (a,3a,5a)+(2b,-b,3b)+(c,2c,4c) = a(1,3,5)+b(2,-1,3)+c(1,2,4)}\)
\(\displaystyle{ (1,3,5)}\)
\(\displaystyle{ (2,-1,3)}\)
\(\displaystyle{ (1,2,4)}\)
Zatem jeżeli są lin. niezależne to to jest baza tej podprzetrzeni?
I czy jeżeli wyliczyłam z takiego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = a + 2b + c \\ y = 3a -b + 2c \\ z = 5a + 3b + 4c \end{cases}}\)
z = y - 2x
to czy:
\(\displaystyle{ (x,y,z) = (x,y,y-2x) = (x,0,-2x)+(0,y,y) = x(1,0,-2) + y(0,1,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,1,1) \text{ i } (1,0,-2)}\) jeżeli lin. niezależne to też są brane pod uwagę w obliczaniu bazy?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ z \neq y-2x}\)

Co do pierwszej częsci w porządku.