Podstawowe pojęcia przestrzeni liniowej - studia

[brun]

Jeśli ktoś potrafiłby rozwiązać poniższe ćwiczenia, proszę o pomoc.

Ćwiczenie 1
Zbadaj liniową niezależność wektorów w podanych przestrzeniach liniowych:
a) \(\displaystyle{ \vec{u}_{1}=\left( -1,0,0)\right), \vec{u}_{2}=\left( 0,1,-1)\right), \vec{u}_{3}=\left( 1,1,1)\right)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \vec{u}_{1}=1+ x^{2}, \vec{u}_{2}=1- x^{2}, \vec{u}_{3}=1+ 2x}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R_{2}\left[ x\right] \left}\)( \(\displaystyle{ R_{2}\left[ x\right]}\) - przestrzeń wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ x}\) co nawyżej drugiego stopnia).

Ćwiczenie 2
Wyznacz bazę oraz określ wymiar przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ X=\left\{ \left( x,y,z\right) \in R^{3} : x-3y + z = 0 \right\}}\).

Ćwiczenie 3
Wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{u}= \left( 3,0,4)\right)}\) w bazie \(\displaystyle{ B=\left\{ \left( 1,1,1\right), \left( 1,2,2\right), \left( 1,2,3\right) \right\}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

[Kartezjusz]

Gdzie są problemy?

[SidCom]

Problem jest taki, że brun chce mieć rozwiązania podane na tacy...

Zacznę:
brun, trzy wektory są niezależne liniowo, jeśli żaden z nich nie jest kombinacją liniową dwóch
pozostałych.

mamy:

\(\displaystyle{ \alpha \left( \begin{array}{c}-1 \\ 0\\ 0 \end{array} \right)+\beta \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ -1 \end{array} \right) +\gamma \left( \begin{array}{c}1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}0 \\ 0\\ 0 \end{array} \right)}\)

z tego dostaniemy \(\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma = 0}\) czyli wektory są liniowo niezależne. Tak samo postępujesz w b)

W ćwiczeniu 2. nasza przestrzeń to płaszczyzna . Bierzemy wektory \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}x \\ y\\ z \end{array} \right)}\) , których współrzędne spełniają równanie płaszczyzny
np. \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}1 \\ 0\\ -1 \end{array} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}0 \\ 1\\ 3 \end{array} \right)}\)
(sprawdzamy czy są l. nzal. jeśli tak to tworzą bazę)

[Kartezjusz]

Tak myślałem temu się spytałem i zamilczałem.