Liniowa zależność kombinacji wektorów

[paos3]

Załóżmy, że układ wektorów \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}\) jest liniowo niezależny. Czy układ
\(\displaystyle{ b _{1} =3 a_{1} +2a _{2} +a _{3} +a _{4}}\)
\(\displaystyle{ b _{2} =2a _{1} +5a _{2} +3a _{3} +2a _{4}}\)
\(\displaystyle{ b _{3} =3a _{1} +4a _{2} +2a _{3} +3a _{4}}\)
jest liniowo zależny?
Proszę o rozwiązanie krok po kroku.

[Poszukujaca]

Musisz sprawdzić, czy przynajmniej jeden ze współczynników \(\displaystyle{ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}}\) jest niezerowy przy równaniu \(\displaystyle{ \beta_{1} b_{1} + \beta_{2} b_{2} + \beta_{3} b_{3} =0}\).

Wstawiasz za \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}, b_{3}}\) równania, które masz:
\(\displaystyle{ \beta_{1} (3a_{1}+2a_{2}+a_{3}+a_{4})+ \beta_{2} (...}\)

Spróbuj dokończyć.

[paos3]

Podstawiłem, ale nadal nie wiem jak to sprawdzić?

[Day1721]

grupujesz względem \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}\), t.j.
\(\displaystyle{ a_{1}(}\)coś\(\displaystyle{ ) + a_{2}(}\)coś\(\displaystyle{ ) + a_{3}(}\)coś\(\displaystyle{ ) + a_{4}(}\)coś\(\displaystyle{ ) = 0}\)
skoro \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}\) są liniowo niezależne, to te coś-ie w nawiasach są równe zero, otrzymujesz układ do rozwiązania. Z niego powinno wyjść, że \(\displaystyle{ \beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=0}\)

[paos3]

Ok. dziękuję