Liniowa zależność

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 6 lut 2016, o 18:19

Udowodnij, że jeżeli wektory \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k}\) są liniowo niezależne, a wektory \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k, b}\) są liniowo zależne, to wektor \(\displaystyle{ b}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ a_1, ..., a_k}\).
Zapisałem sobie sumę tych wektorów przemnożonych przez skalary i przyrównałem do wektora zerowego. Wyznaczyłem b z tego równania, ale nie wiem co dalej.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 6 lut 2016, o 19:21

\(\displaystyle{ \beta_{1} a_{1} + \beta_{2} a_{2} + ... + \beta_{k} a_{k} + \beta_{k+1} b = 0}\)

Załóż, że niezerowy jest skalar \(\displaystyle{ \beta_{i}}\). Następnie podziel całe powyższe równanie przez ten skalar.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 6 lut 2016, o 20:05

Zrobiłem tak, napisałem, że wyznaczyłem z tego b tj. przeniosłem na drugą stronę i podzieliłem przez skalar. Czy to jest koniec?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 6 lut 2016, o 20:32

Tak

Jednak zastanów się w jaki sposób korzystasz tutaj z niezależności wektorów \(\displaystyle{ a_{1}, ..., a_{k}}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 6 lut 2016, o 20:55

Jak to jak? Dany wektor otrzymujemy poprzez sumę wektorów liniowo niezależnych.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 6 lut 2016, o 23:38

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 6 lut 2016, o 23:48

Tylko tyle wystarczy czy jakiś dodatkowy komentarz wypadałoby napisać?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 6 lut 2016, o 23:51

Liniową niezależność wykorzystujesz do tego, żeby udowodnić, że \(\displaystyle{ \beta_{k+1}\neq 0}\). To właśnie jest sensem tego zadania. Jeżeli tego nie zauważyłeś, to znaczy, że nie rozwiązałeś go poprawnie.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 6 lut 2016, o 23:57

Zaraz to teraz mi coś nie pasuje. Skoro mam udowodnić, że ten skalar jest niezerowy to nie mogę równania przez niego podzielić, bo nie wiem czy jest niezerowy.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 7 lut 2016, o 00:05

Benny01 pisze:Zaraz to teraz mi coś nie pasuje. Skoro mam udowodnić, że ten skalar jest niezerowy to nie mogę równania przez niego podzielić, bo nie wiem czy jest niezerowy.

Nie. Masz skorzystać z liniowej zależności wektorów \(\displaystyle{ a_{1}, ... , a_{k}, b}\), czyli wiesz, że jeden skalar \(\displaystyle{ \beta_{i}}\) jest niezerowy i możesz przez niego podzielić wszystkie inne skalary.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 lut 2016, o 09:18

Poszukujaca pisze:
Benny01 pisze:Zaraz to teraz mi coś nie pasuje. Skoro mam udowodnić, że ten skalar jest niezerowy to nie mogę równania przez niego podzielić, bo nie wiem czy jest niezerowy.
Nie. Masz skorzystać z liniowej zależności wektorów \(\displaystyle{ a_{1}, ... , a_{k}, b}\), czyli wiesz, że jeden skalar \(\displaystyle{ \beta_{i}}\) jest niezerowy i możesz przez niego podzielić wszystkie inne skalary.

Ale w ten sposób nie udowodnisz, że \(\displaystyle{ b}\) jest kombinacja pozostałych wektorów. Do tego potrzebujesz dowodu, że współczynnik przy \(\displaystyle{ b}\) nie jest zerowy.-- 7 lut 2016, o 09:20 --Wsk: sprwadź co by było, gdyby w równaniu \(\displaystyle{ \beta_{1} a_{1} + \beta_{2} a_{2} + ... + \beta_{k} a_{k} + \beta_{k+1} b = 0}\) ostatni współczynnik był równy zero.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 7 lut 2016, o 11:53

Współczynnik? Masz na myśli skalar \(\displaystyle{ \beta _{k+1}}\)? Jeśli byłby równy 0 to reszta też byłaby równa 0, ponieważ pozostałe wektory są liniowo niezależne.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 lut 2016, o 13:09

No właśnie. I na tym polega rozwiązanie tego zadania.

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 7 lut 2016, o 13:21

No i teraz ładnie wszystko widzę. Dzięki