Generowanie przestrzeni

Marekgoku · Post autor: **Marekgoku** » 5 lut 2016, o 18:39

Sprawdzić czy wektory [a,b,c],[d,e,f],[g,h,i] generują przestrzeń liniową\(\displaystyle{ R ^{3}}\)
Czy wystarczy sprawdzić liniową niezależność wektorów ?
Jeśli rzad macierzy utworzonej z tych wektorów będzie równy <3 wtedy wektory nie generują \(\displaystyle{ R ^{3}}\). bo są zależne liniowo tak?
A jeśli rzad wyjdzie 3 wtedy są liniowo niezależne, ale czy to warunek wystarczający, aby generowały \(\displaystyle{ R ^{3}}\) czy jeszcze muszę coś sprawdzić ?

leg14 · Post autor: **leg14** » 5 lut 2016, o 18:44

Tak.Tak.Tak.
Wystarczajacy, ponieaz wymiar tej przestrzeni to 3.

Marekgoku · Post autor: **Marekgoku** » 5 lut 2016, o 18:50

A czy 2 wektory [a,b,c,d], [e,f,g,h] liniowo niezależne mogą generować \(\displaystyle{ R^{4}}\) ?

-- 5 lut 2016, o 20:03 --

A czy sprawdzając liniową niezależność wektorów [a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]
Ma znaczenie czy zapisze je tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]}\)
lub tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{array}\right]}\)
?
Chodzi przecież o policzenie rzędu macierzy a to chyba nie zmienia rzędu ?

leg14 · Post autor: **leg14** » 5 lut 2016, o 19:35

A czy 2 wektory [a,b,c,d], [e,f,g,h] liniowo niezależne mogą generować \(\displaystyle{ R^{4}}\) ?

A czy wiesz co to znaczy, ze przestrzen ma wymiar 4?

Transponowanie macierzy na pewno nie zmienia wyznacznika ,wiec jesli beda niezalezne to to Ci wyjdzie w obu sytuacjach, analogicznie jesli beda zalezne.Natomiast transponowanie chyba moze zmienic rzad, choc szczerze mowiac nie mam pewnosci.

Marekgoku · Post autor: **Marekgoku** » 5 lut 2016, o 19:45

Jest rozpięta na 4 wektorach liniowo niezależnych tak?
Czyli, żeby wektory mogły generować \(\displaystyle{ R ^{4}}\) to musi ich być \(\displaystyle{ \ge}\) 4 tak?
A np. czy wektory tworzą baze w \(\displaystyle{ R ^{4}}\) tzn. tyle czy generują całą przestrzeń i wystarczy, że sprawdzę ich liniową niezależność tak ?

leg14 · Post autor: **leg14** » 5 lut 2016, o 19:47

Musi ich byc dokladnie 4, w przestrzeni wymiaru 4 nie znajdziesz 5 niezaleznych wektorow.

A np. czy wektory tworzą baze w R ^{4} tzn. tyle czy generują całą przestrzeń i wystarczy, że sprawdzę ich liniową niezależność tak ?

O ile dobrze zorzumialem - musisz sprawdzic ich liniowa niezaleznosc oraz to czy zgadzaja sie z wymiarem przestrzeni.

Marekgoku · Post autor: **Marekgoku** » 5 lut 2016, o 19:52

leg14 pisze:

Transponowanie macierzy na pewno nie zmienia wyznacznika ,wiec jesli beda niezalezne to to Ci wyjdzie w obu sytuacjach, analogicznie jesli beda zalezne.Natomiast transponowanie chyba moze zmienic rzad, choc szczerze mowiac nie mam pewnosci.

Ale rząd macierzy to jej największy niezerowy minor, czyli jej największy niezerowy wyznacznik, czyli wydaje się, że rzędu nie zmienia, o ile coś mi się nie pomieszało.

Okej dzięki za pomoc już trochę mi się to poukładało.

leg14 · Post autor: **leg14** » 5 lut 2016, o 20:01

Nie no masz racje.To wynika z tego, ze transonowanie nie rozszczepia minorow, wiec ich wyznaczniki pozsotaja takie same.