Odwzorowanie trójliniowe jest wielokrotnością wyznacznika

[Peter Zof]

Niech \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie antysymetrycznym funkcjonałem trójliniowym na przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ f=\lambda \cdot \det}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\). Proszę o wskazówkę, bo nic mi konkretnego nie przychodzi do głowy.

[JakimPL]

Ponieważ dowód nie różni się w zależności od wymiaru, możemy spróbować ogólnie.

Funkcjonał jest antysymetryczny, jeżeli dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \sigma\in S(n)}\)

\(\displaystyle{ f(u_1, \ldots, u_n) = \sgn (\sigma) f(u_{\sigma(1)},\ldots,u_{\sigma(n)})}\)

Wektory można rozpisać jako kombinacje liniowe wektorów bazowych:

\(\displaystyle{ u_k = \sum_{i_k=1}^n a_{i_k,k}e_{i_k}}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ f(u_1,\ldots,u_n) = f\left(\sum_{i_1=1}^n a_{i_1,1}e_{i_1},\ldots,\sum_{i_n=1}^n a_{i_n,n}e_{i_n}\right)}\)

Skrupulatnie wyłączając współczynniki:

\(\displaystyle{ f(u_1,\ldots,u_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n=1}^n a_{i_1,1}\cdot\ldots\cdot a_{i_n,n} f(e_{i_1},\ldots,e_{i_n})}\)

Jeżeli indeksy nie są parami różne, to \(\displaystyle{ f(e_{i_1},\ldots,e_{i_n})=0}\)

Teraz trzeba przejść na permutacje i wykazać, że funkcjonał jest jednoznacznie określony poprzez wartość w \(\displaystyle{ (e_1,\ldots, e_n)}\)*. Wiedząc, że wyznacznik ma własności z tezy, jesteśmy w domu.

*

Ukryta treść:    

tj.

\(\displaystyle{ f(u_1,\ldots,u_n)=\lambda\sum_{\sigma\in S(n)}\sgn (\sigma)a_{\sigma(1),1}\cdot\ldots\cdot a_{\sigma(n),n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda=f(e_1,\ldots,e_n)}\).