wyznaczenie macierzy sinC
-
Studentka1992
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 2 cze 2012, o 12:43
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 3 razy
wyznaczenie macierzy sinC
Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania polegającego na wynzaczeniu macierzy \(\displaystyle{ \sin \textbf{C}}\), gdzie \(\displaystyle{ \textbf{C}=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]}\)?
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
wyznaczenie macierzy sinC
Możemy to zrobić z definicji. Trzeba rozwinąć \(\displaystyle{ \sin}\) w szereg Taylora.
\(\displaystyle{ \sin {\bf C} = {\bf C} - \frac{1}{3!}{\bf C}^3 + \frac{1}{5!}{\bf C}^5 - \frac{1}{7!}{\bf C}^7+\ldots}\)
Niezbędne będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ {\bf C}^n}\) (co jest żmudne):
\(\displaystyle{ {\bf C}^n = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
(-1)^n+3^n & -(-1)^n+3^n \\ -(-1)^n+3^n &(-1)^n+3^n\\\end{bmatrix}}\)
By policzyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!} {\bf C}^{2n-1}}\), należy policzyć każde z czterech szeregów odpowiadającym wyrazom macierzy; rozpisując szereg dla pierwszego wyrazu macierzy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\frac{1}{2}\left[(-1)^{2n-1}+3^{2n-1}\right]}\)
Rozbijając na dwa szeregi i korzystając z rozwinięcia sinusa:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}(-1)^{2n-1}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}3^{2n-1}=\frac{\sin(-1)+\sin(3)}{2}}\)
Podobnie liczymy pozostałe szeregi, uzyskując:
\(\displaystyle{ \sin {\bf C} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sin(-1)+\sin(3) & -\sin(-1)+\sin(3) \\ -\sin(-1)+\sin(3) & \sin(-1)+\sin(3)\end{bmatrix}}\)
Na szczęście nie trzeba robić tego ręcznie.
Można też zdiagonalizować macierz \(\displaystyle{ {\bf C} = {\bf P}^{-1}{\bf D}{\bf P}}\), gdzie
\(\displaystyle{ {\bf P} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1\\\end{bmatrix}, \quad {\bf D} = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 1\\\end{bmatrix}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ {\bf C} = {\bf P}^{-1}\begin{bmatrix}\sin(-3) & 0 \\ 0 & \sin 1\\\end{bmatrix}{\bf P}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sin(-1)+\sin(3) & -\sin(-1)+\sin(3) \\ -\sin(-1)+\sin(3) & \sin(-1)+\sin(3)\end{bmatrix}}\)
Notabene w ten sposób możemy uzyskać ogólną postać \(\displaystyle{ \sin {\bf C}}\). Do tego jednak trzeba wiedzieć coś o postaci macierzy \(\displaystyle{ \sin{\bf C}}\) w zależności od jej wektorów własnych (czyli: diagonalizacji).
\(\displaystyle{ \sin {\bf C} = {\bf C} - \frac{1}{3!}{\bf C}^3 + \frac{1}{5!}{\bf C}^5 - \frac{1}{7!}{\bf C}^7+\ldots}\)
Niezbędne będzie wyznaczenie \(\displaystyle{ {\bf C}^n}\) (co jest żmudne):
\(\displaystyle{ {\bf C}^n = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
(-1)^n+3^n & -(-1)^n+3^n \\ -(-1)^n+3^n &(-1)^n+3^n\\\end{bmatrix}}\)
By policzyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!} {\bf C}^{2n-1}}\), należy policzyć każde z czterech szeregów odpowiadającym wyrazom macierzy; rozpisując szereg dla pierwszego wyrazu macierzy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}\frac{1}{2}\left[(-1)^{2n-1}+3^{2n-1}\right]}\)
Rozbijając na dwa szeregi i korzystając z rozwinięcia sinusa:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}(-1)^{2n-1}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}3^{2n-1}=\frac{\sin(-1)+\sin(3)}{2}}\)
Podobnie liczymy pozostałe szeregi, uzyskując:
\(\displaystyle{ \sin {\bf C} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sin(-1)+\sin(3) & -\sin(-1)+\sin(3) \\ -\sin(-1)+\sin(3) & \sin(-1)+\sin(3)\end{bmatrix}}\)
Na szczęście nie trzeba robić tego ręcznie.
Można też zdiagonalizować macierz \(\displaystyle{ {\bf C} = {\bf P}^{-1}{\bf D}{\bf P}}\), gdzie
\(\displaystyle{ {\bf P} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1\\\end{bmatrix}, \quad {\bf D} = \begin{bmatrix}-3 & 0 \\ 0 & 1\\\end{bmatrix}}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ {\bf C} = {\bf P}^{-1}\begin{bmatrix}\sin(-3) & 0 \\ 0 & \sin 1\\\end{bmatrix}{\bf P}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sin(-1)+\sin(3) & -\sin(-1)+\sin(3) \\ -\sin(-1)+\sin(3) & \sin(-1)+\sin(3)\end{bmatrix}}\)
Notabene w ten sposób możemy uzyskać ogólną postać \(\displaystyle{ \sin {\bf C}}\). Do tego jednak trzeba wiedzieć coś o postaci macierzy \(\displaystyle{ \sin{\bf C}}\) w zależności od jej wektorów własnych (czyli: diagonalizacji).