Wektor w bazie

barbados · Post autor: **barbados** » 2 lut 2016, o 13:03

Znalezć, jeśli istnieje , taki wektor \(\displaystyle{ v \in R^{3}}\) że układ \(\displaystyle{ B=(v1=(1,0,1),v2=(2,1,0),v)}\) jest baża przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) i wektor u=(7,3,5) ma w tej bazie współrzedne 3,1,2

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem.

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 2 lut 2016, o 13:29

\(\displaystyle{ 3 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + 2 \cdot v = (7,3,5)}\) - spróbuj z tego warunku wyliczyć jak będzie wyglądał wektor \(\displaystyle{ v}\). To co zapisałem to właśnie ten warunek, że współrzędne wektora \(\displaystyle{ (7,3,5)}\) w bazie złożonej z \(\displaystyle{ v_1 , v_2, v}\) to \(\displaystyle{ (3,1,2)}\) - stąd właśnie te współczynniki przy odpowiednich wektorach.
Można by też napisać macierz przejścia z bazy do bazy i też wyliczać współrzędne, ale te sposoby nie różnią się istotnie.

barbados · Post autor: **barbados** » 2 lut 2016, o 13:34

v wyszło mi \(\displaystyle{ v=(1,1,1)}\)
Czy to poprawny wynik?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 2 lut 2016, o 14:01

Mi też tak wyszło, więc z dużą pewnością - tak. Zauważ jeszcze, że wektory \(\displaystyle{ v_1 , v_2, v}\) mają być bazą, czyli powinny być liniowo niezależne, no ale to już łatwo sprawdzić, więc koniec zadania.

barbados · Post autor: **barbados** » 2 lut 2016, o 14:36

tak, tak wyszły liniowo niezależne, wystarczy to sprawdzic wyznacznikiem, lub sprowadzic do macierzy schodkowej zredukowanej. dziekuje za pomoc.