Hej,
Mam do czynienia z następującym problemem:
Opisz wszyskie macierze \(\displaystyle{ A_{1}}\) i \(\displaystyle{ A_{2}}\) o wymiarach \(\displaystyle{ 2 x 3}\), których macierze schodkowe to \(\displaystyle{ R_{1}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}}\), takie że \(\displaystyle{ R_{1} + R_{2}}\) jest macierzą schodkową dla \(\displaystyle{ A_{1} + A_{2}}\).
1) Czy jest prawdą, że w takim wypadku \(\displaystyle{ R_{1} = A_{1}}\) i \(\displaystyle{ R_{2} = A_{2}}\) ?
2) Czy \(\displaystyle{ R_{1} - R_{2}}\) jest równe zredukowanej macierzy schodkowej z \(\displaystyle{ A_{1} - A_{2}}\) ?
Odpowiedź do zadania jest następująca:
1) Tak.
2) Nie, \(\displaystyle{ R_{1} - R_{2}}\) może mieć \(\displaystyle{ -1}\) w miejscu niektórych pivotów.
I teraz mam problem z treścią zadania. W treści mamy, że \(\displaystyle{ R}\) to "macierz schodkowa", ale nie wiadomo czy zredukowana. Na to wskazuje i użycie litery "R", i odp. w punkcie 2) (jedynki się pojawią przy odejmowaniu zredukowanych macierzy schodkowych).
Moje rozumowanie dla punktu 1):
Każda macierz \(\displaystyle{ R}\) powstaje przez operacje na wierszach \(\displaystyle{ A}\). Dlatego \(\displaystyle{ E_{1} A_{1} = R_{1}}\) i podobnie dla \(\displaystyle{ R_{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ R_{1} + R_{2} = E_{1} A_{1} + E_{2} A_{2}}\). Faktycznie, jeśli \(\displaystyle{ E_{1}, E_{2} = I}\), to \(\displaystyle{ R_{1} = A_{1}}\) i to samo dla \(\displaystyle{ R_{2}}\). Natomiast nie gwarantuje to, że suma się zgadza wyłącznie w tej sytuacji.
Idąc dalej, jeśli faktycznie \(\displaystyle{ R_{1} = A_{1}}\), to żeby spełnić warunki zadania \(\displaystyle{ R_{1}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}}\) muszą mieć pivoty w różnych kolumnach.
Z 2) nie mam problemu, bo przy odejmowaniu zredukowanych macierzy schodkowych jedynki faktycznie mogą wystąpić w miejscu pivotów.
W jaki sposób pokazać, że warunki zadania są spełnione tylko gdy \(\displaystyle{ R_{1} = A_{1}}\) (i to samo dla \(\displaystyle{ R_{2}}\))? Czy faktycznie \(\displaystyle{ R_{1}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}}\) muszą mieć pivoty w różnych kolumnach?
Pozdrawiam