Wyznacz wartości i wektory własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
stjudent
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 8 gru 2015, o 20:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 14 razy

Wyznacz wartości i wektory własne

Post autor: stjudent »

Wyznacz wartości i wektory własne :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0\\2&1&0\\0&0&7\end{bmatrix}}\)
Po wyliczeniu wyznacznika wychodzi mi: \(\displaystyle{ \lambda ^{3} -5 \lambda ^{2} -19 \lambda + 35}\)
Moje pytanie brzmi: jaką metodą rozwiązać to wyrażenie? Proszę o wskazówki bo nie mam kompletnie pojęcia.
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Wyznacz wartości i wektory własne

Post autor: wiedzmac »

Tak jak uczyli w liceum - szukasz dzielników \(\displaystyle{ 35}\) i sprawdzasz dla którego z nich wartość wielomianu wychodzi zero. Szczęśliwie się trafia, że jest to \(\displaystyle{ 7}\). Następnie dzielisz twój wielomian przez \(\displaystyle{ (\lambda - 7)}\) i pozostałe pierwiastki obliczasz "z delty".
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wyznacz wartości i wektory własne

Post autor: Premislav »

Moja podpowiedź jest taka: gdybyś policzyła wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&2&0\\2&1-\lambda&0\\0&0&7-\lambda\end{bmatrix}}\), korzystając z rozwinięcia Laplace'a względem trzeciej kolumny (albo trzeciego wiersza, jak wolisz), to otrzymasz pierwiastki noir sur blanc, bo dostaniesz wielomian w postaci iloczynowej (no prawie, jeszcze tylko wzorek na różnicę kwadratów).

-- 26 sty 2016, o 19:06 --

Aczkolwiek oczywiście twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, o którym pisał wiedzmac, ma tu zastosowanie. To ogólniejsza metoda, zatem warto o niej pamiętać.
Przykłady zwykle są tak dobierane, by dało się zgadnąć jakiś pierwiastek lub rozłożyć wielomian trzeciego stopnia z użyciem tw. o pierwiastkach wymiernych, gdyż zazwyczaj na studiach nie uczy się wzorów Cardana (i chyba słusznie - są zupełnie niepraktyczne, jeśli już to pokazanie ich wyprowadzenia miałoby jakiś sens).
ODPOWIEDZ