Wyznacz wartości i wektory własne :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0\\2&1&0\\0&0&7\end{bmatrix}}\)
Po wyliczeniu wyznacznika wychodzi mi: \(\displaystyle{ \lambda ^{3} -5 \lambda ^{2} -19 \lambda + 35}\)
Moje pytanie brzmi: jaką metodą rozwiązać to wyrażenie? Proszę o wskazówki bo nie mam kompletnie pojęcia.
Wyznacz wartości i wektory własne
-
- Użytkownik
- Posty: 481
- Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sucha/Wrocław
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 62 razy
Wyznacz wartości i wektory własne
Tak jak uczyli w liceum - szukasz dzielników \(\displaystyle{ 35}\) i sprawdzasz dla którego z nich wartość wielomianu wychodzi zero. Szczęśliwie się trafia, że jest to \(\displaystyle{ 7}\). Następnie dzielisz twój wielomian przez \(\displaystyle{ (\lambda - 7)}\) i pozostałe pierwiastki obliczasz "z delty".
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Wyznacz wartości i wektory własne
Moja podpowiedź jest taka: gdybyś policzyła wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&2&0\\2&1-\lambda&0\\0&0&7-\lambda\end{bmatrix}}\), korzystając z rozwinięcia Laplace'a względem trzeciej kolumny (albo trzeciego wiersza, jak wolisz), to otrzymasz pierwiastki noir sur blanc, bo dostaniesz wielomian w postaci iloczynowej (no prawie, jeszcze tylko wzorek na różnicę kwadratów).
-- 26 sty 2016, o 19:06 --
Aczkolwiek oczywiście twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, o którym pisał wiedzmac, ma tu zastosowanie. To ogólniejsza metoda, zatem warto o niej pamiętać.
Przykłady zwykle są tak dobierane, by dało się zgadnąć jakiś pierwiastek lub rozłożyć wielomian trzeciego stopnia z użyciem tw. o pierwiastkach wymiernych, gdyż zazwyczaj na studiach nie uczy się wzorów Cardana (i chyba słusznie - są zupełnie niepraktyczne, jeśli już to pokazanie ich wyprowadzenia miałoby jakiś sens).
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&2&0\\2&1-\lambda&0\\0&0&7-\lambda\end{bmatrix}}\), korzystając z rozwinięcia Laplace'a względem trzeciej kolumny (albo trzeciego wiersza, jak wolisz), to otrzymasz pierwiastki noir sur blanc, bo dostaniesz wielomian w postaci iloczynowej (no prawie, jeszcze tylko wzorek na różnicę kwadratów).
-- 26 sty 2016, o 19:06 --
Aczkolwiek oczywiście twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, o którym pisał wiedzmac, ma tu zastosowanie. To ogólniejsza metoda, zatem warto o niej pamiętać.
Przykłady zwykle są tak dobierane, by dało się zgadnąć jakiś pierwiastek lub rozłożyć wielomian trzeciego stopnia z użyciem tw. o pierwiastkach wymiernych, gdyż zazwyczaj na studiach nie uczy się wzorów Cardana (i chyba słusznie - są zupełnie niepraktyczne, jeśli już to pokazanie ich wyprowadzenia miałoby jakiś sens).