przekształcenie liniowe
-
madlene
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 17 paź 2015, o 11:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
przekształcenie liniowe
Jak zbadać, czy przekształcenie \(\displaystyle{ T:R ^{2} \rightarrow R ^{3}}\) dane wzorem \(\displaystyle{ T(x,y)=(x+y,x,0)}\) jest izomorfizmem?
-
Wubwubwomp
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 25 sty 2016, o 21:21
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 1 raz
przekształcenie liniowe
Bijekcja to funkcja, która jest różnowartościowa i "na".
"Na", czyli osiąga wszystkie wartości z przeciwdziedziny, w tym przypadku z \(\displaystyle{ R^{3}}\), czyli tutaj oczywiste jest, że wszystkich nie osiągnie skoro na trzeciej współrzędnej zawsze jest 0.
"Na", czyli osiąga wszystkie wartości z przeciwdziedziny, w tym przypadku z \(\displaystyle{ R^{3}}\), czyli tutaj oczywiste jest, że wszystkich nie osiągnie skoro na trzeciej współrzędnej zawsze jest 0.
-
madlene
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 17 paź 2015, o 11:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
przekształcenie liniowe
A gdyby na trzeciej współrzędnej byłby np. x-2y, to byłaby suriekcją? jak wtedy sprawdzić, czy jest iniekcją?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
przekształcenie liniowe
Nie byłaby surjekcją, gdyż ponieważ albowiem jako że
mamy takie twierdzonko \(\displaystyle{ \dim ker T+\dim \Im T=\dim X}\) dla liniowego \(\displaystyle{ T:X \rightarrow Y}\). Stąd wynika, że obraz \(\displaystyle{ T}\) jak w zadanku jest wymiaru 2, zaś \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) ma wymiar 3.
A sprawdzanie, że jest injekcją przecież zazwyczaj jest bardziej schematyczne nawet niż liczenie całek z podstawień Eulera czy uniwersalnego. Bierzesz dwa elementy \(\displaystyle{ \RR^{2}}\): \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) i działasz na nie przekształceniem \(\displaystyle{ T}\), po czym sprawdzasz, co wynika z \(\displaystyle{ T((x_{1},y_{1}))=T((x_{2},y_{2}))[/tex (przekształcasz tę równość - wektory są równe, gdy mają wszystkie współrzędne równe). no i masz układ trzech równań liniowych z czterema niewiadomymi. Oczywiście takie [tex]T}\), jak napisałaś, byłoby injekcją, przyrównanie drugich współrzędnych T daje to, że pierwsze współrzędne argumentów (tj. \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)) muszą być równe, a dalej wystarczy odjąć równanie \(\displaystyle{ x_{1}-2y_{1}=x_{2}-2y_{2}}\) od równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}}\) i masz równość drugich współrzędnych argumentów.
Aczkolwiek jest tez inny sposób na sprawdzenie, czy przekształcenie liniowe jest injekcją: sprawdzasz jądro tego przekształcenia. Mamy bowiem \(\displaystyle{ Tu=Tv \Leftrightarrow T(u-v)=0}\) z liniowości \(\displaystyle{ T}\), no i jeśli to zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ \vec{0}}\), to \(\displaystyle{ T}\) jest injekcją, a jak nie to, nie.
Oczywiście \(\displaystyle{ T}\) jak w początkowej treści tez jest injekcja.
mamy takie twierdzonko \(\displaystyle{ \dim ker T+\dim \Im T=\dim X}\) dla liniowego \(\displaystyle{ T:X \rightarrow Y}\). Stąd wynika, że obraz \(\displaystyle{ T}\) jak w zadanku jest wymiaru 2, zaś \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\) ma wymiar 3.
A sprawdzanie, że jest injekcją przecież zazwyczaj jest bardziej schematyczne nawet niż liczenie całek z podstawień Eulera czy uniwersalnego. Bierzesz dwa elementy \(\displaystyle{ \RR^{2}}\): \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x_{2},y_{2})}\) i działasz na nie przekształceniem \(\displaystyle{ T}\), po czym sprawdzasz, co wynika z \(\displaystyle{ T((x_{1},y_{1}))=T((x_{2},y_{2}))[/tex (przekształcasz tę równość - wektory są równe, gdy mają wszystkie współrzędne równe). no i masz układ trzech równań liniowych z czterema niewiadomymi. Oczywiście takie [tex]T}\), jak napisałaś, byłoby injekcją, przyrównanie drugich współrzędnych T daje to, że pierwsze współrzędne argumentów (tj. \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)) muszą być równe, a dalej wystarczy odjąć równanie \(\displaystyle{ x_{1}-2y_{1}=x_{2}-2y_{2}}\) od równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}}\) i masz równość drugich współrzędnych argumentów.
Aczkolwiek jest tez inny sposób na sprawdzenie, czy przekształcenie liniowe jest injekcją: sprawdzasz jądro tego przekształcenia. Mamy bowiem \(\displaystyle{ Tu=Tv \Leftrightarrow T(u-v)=0}\) z liniowości \(\displaystyle{ T}\), no i jeśli to zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ \vec{0}}\), to \(\displaystyle{ T}\) jest injekcją, a jak nie to, nie.
Oczywiście \(\displaystyle{ T}\) jak w początkowej treści tez jest injekcja.