Zapisać wektory jako wektory kolumnowe

[Dario1]

Zapisać wektory \(\displaystyle{ a,b,c,d \in R ^{3}}\) jako wektory kolumnowe we współrzędnych w bazie standardowej zero-jedynkowej. \(\displaystyle{ a=\left( 2,1-3\right),b=\left( 1,3,1\right),c=\left( -1,2,2\right),d=\left( 3,1,0\right)}\). Przedstawić kombinację liniową wektorów
\(\displaystyle{ v=3a+2b-c+2d}\) w postaci iloczynu odpowiednich macierzy. Sprawdzić słuszność tej równości wykonując działania algebraiczne na wektorach oraz mnożąć tradycyjnie macierze przez siebie.

Pierwsza rzecz zapisać te wektory jako kolumnowe to zapisałem tak:
\(\displaystyle{ a=\left[ \begin{array}{ccc}2\\1\\-3\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ b=\left[ \begin{array}{ccc}1\\3\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ c=\left[ \begin{array}{ccc}-1\\2\\2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ d=\left[ \begin{array}{ccc}3\\1\\0\end{array}\right]}\)
Nie wiem czy dobrze. Dalej kombinacja liniową, przedstawiłem ją następująco:
\(\displaystyle{ a=\left[ \begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\1&3&2&1\\-3&1&2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\2\\-1\\2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}v _{1}\\v _{2}\\v _{3} \end{array}\right]}\)
Natomiast nie wiem jak poprzez działania algebraiczne na wektorach uzasadnić słuszność tej równości. A mnożąc te macierze przez siebie no to po prostu dostaniemy macierz której kolumny będą odpowiednimi wektorami wymnożonymi przez odpowiednie liczby.

Proszę o pomoc i sprawdzenie.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ {\red{a=}}\left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\1&3&2&1\\-3&1&2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\2\\-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right]}\)

Po co to co zaznaczyłem?

• \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&3\\1&3&2&1\\-3&1&2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\2\\-1\\2\end{array}\right]=3\cdot\left[\begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right]+2\cdot\left[\begin{array}{c}1\\3\\1\end{array}\right]-1\cdot\left[\begin{array}{c}-1\\2\\2\end{array}\right]2\cdot\left[\begin{array}{c}3\\1\\0\end{array}\right]}\)

Prawa strona jest zarówno rozwinięciem mnożenia macierzy jak i rozwinięciem kombinacji liniowej wektorów.