Liczba rozwiazan ukladu rownan z parametrem

[kimimaro18]

dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ P \in R}\) uklad rownan jest sprzeczny, ma jedno rozwiazanie, ma nieskoczenie wiele rozwiazan?
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x-y+pz=-1 \\
px+2y-z=1 \\
2x+3y-2z=-1 \\
x-y+z=1 \\
\end{cases}}\)

Moj pomysl na rozwiazanie tego zadania byl taki, zeby policzyc rzad macierzy wspolczynnikow w zaleznosci od p. Liczylem minory 3x3 tej macierzy i sprawdzalem kiedy rownaja sie 0(wtedy rzad tej macierzy bylby rowny 2), ale niestety wyniki nie pokrywaja sie, i nie wiem jak mam z tym ruszyc. Rzedu macierzy uzupelnionej nawet nie probowalem liczyc, no bo po co skoro nawet nie mam rzedu macierzy wspolczynnikow.

[kerajs]

A ja, wbrew Twojej intuicji, sugeruję Ci policzenie wyznacznika z macierzy uzupełnionej i przyrównanie go do zera. Wyjdą Ci wartości parametru ,,p' które zerują ten wyznacznik. Każdą z nich osobno wstaw do układu i wtedy (mając już wszystkie współczynniki) sprawdzasz rozwiązywalność układu. Dla pozostałych ,,p' niezerujących macierz uzupełnioną układ jest sprzeczny(bo rząd uzupełnionej to 4, a głównej to co najwyżej 3).

[kimimaro18]

Zaczalem robic tak jak mi radziles, ale zaczely wychodzic duze pierwiastki i przestalem. Zapytalem dzisiaj mojego wykladowcy co by z tym zrobil i polecil, zebym dodal sobie wiersze i zrobil 3rownania. Dodalem 3 i 4wiersz. Policzylem rzad macierzy wspolczynnikow w zaleznosci od p kiedy bedzie 3 a kiedy 2. Nastepnie liczylem macierz uzupelniona (rowniez z tych 3rownan) Wyszlo mi, ze macierz ta ma zawsze rzad 3, takze moja odpowiedz brzmi tak:
Uklad jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2},3}\)
Uklad ma 1rozwiazanie dla \(\displaystyle{ p \in R \setminus \left\{ \frac{1}{2},3\right\}}\)
Uklad nigdy nie ma nieskoczenie wielu rozwiazan
Nie jestem pewien czy jest to poprawne rozwiazanie, bylbym bardzo wdzieczny jesli ktos by to sprawdzil.

[kerajs]

dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ P \in R}\) uklad rownan jest sprzeczny, ma jedno rozwiazanie, ma nieskoczenie wiele rozwiazan?
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x-y+pz=-1 \\
px+2y-z=1 \\
2x+3y-2z=-1 \\
x-y+z=1 \\
\end{cases}}\)

Wyznacznik z macierzy rozszerzonej to \(\displaystyle{ 2p^2-11p+6}\). Oznacza to że układ jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ p \in \RR \setminus \left\{ \frac{11- \sqrt{73} }{4},\frac{11+ \sqrt{73} }{4} \right\}}\) bo wtedy rząd uzupełnionej wynosi 4 . Dla dwóch wyłączonych wartości ,,p' należy jeszcze sprawdzić rozwiązywalność układu .



Siłą rzeczy dołączam się do autora tematu :

Nie jestem pewien czy jest to poprawne rozwiazanie, bylbym bardzo wdzieczny jesli ktos by to sprawdzil.

[kimimaro18]

Dokladnie takie same wyniki mi wyszly jak tobie, ale dlaczego w takim razie wykladowca dzisiaj mi powiedzial, ze moge dodac sobie wiersze jesli wyniki sa calkiem inne.